Mensurenrechner für Orgelpfeifen

Erläuterungen   |  © Arndt Brünner, Gelnhausen, November 2000 - März 2001 |  Übersicht    

Register andere:

  EingabeErgebnis 
Breite mm mm  Kernmaße einer rechteckigen Pfeife 
Tiefe mm mm   
Vertiefung (Tiefe/Breite)
Durchmesser mm mm runde Pfeife gleicher Mensur
Labiumbreite mm mm
Verhältnis zum Umfang   
Abweichung NM    HT HT 
Taste  
Ton  

          Hilfe zum Kleinen Rechner

theoretische Länge   mm   (korrigierte Länge: siehe unten)
Frequenz Hz

Stimmton Hz
Schallgeschwindigkeit     m/s
Lufttemperatur     °C

Materialstärke mm runde Pfeife
Plattenbreite des Mantels zylindrischer Pfeifen mm
Länge mit Mündungskorrektur (runde Pfeife) mm
Länge mit Mündungskorrektur (rechteckige Pfeife) mm rechteckige Pfeife

Neu:

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Interpolieren von Mensurwerten mit Beziérkurven



Erläuterungen

Mit dem »Mensurenrechner« können Maße und Mensurwerte von Orgelpfeifen berechnet werden. In Abhängigkeit von den Eingaben werden alle möglichen anderen Werte berechnet. Auch eine (vergleichende) Umrechnung von Pfeifen mit rechteckigem und runden Querschnitt ist möglich. Geben Sie die bekannten Werte in die Felder der linken Spalte ein, lassen Sie die anderen Felder frei, legen Sie im oberen Bereich gegebenenfalls die Fußzahl des Registers fest und klicken Sie abschließend auf die Schaltfläche Berechnen.

Nachfolgend zunächst einige allgemeine Erläuterungen zum Begriff »Mensur«, dann Hinweise zur Bedeutung der Felder, zur korrekten Eingabe und zur Interpretation der Ergebnisse.

Unter Mensur versteht man allgemein ein klangbestimmendes Maß von Musikinstrumentenbauteilen, spezieller bei Windinstrumenten namentlich das Verhältnis zwischen einem Querschnittsmaß (Fläche, Durchmesser oder Umfang) und der Länge der klingenden Luftsäule. Letztere verhält sich umgekehrt proportional zur Frequenz des erzeugten Tones. Diese sogenannte Weitenmensur ist ein Maß, mit dem der Klangcharakter von Orgelpfeifen größenmäßig erfaßbar ist.

Da die Mensur ein Verhältniswert ist, verkleinern sich bei gleichmensurierten Pfeifen kürzerer Länge auch die übrigen abhängigen Größen gegenüber der längeren Vergleichspfeife. Die Pfeifenlängen halbieren sich (vereinfacht betrachtet) mit jeder Oktave. Würde man jedoch ein Register bauen, bei dem sich auch die Flächen der Pfeifenquerschnitte im Verhältnis 1:2 pro Oktave verhalten, erhielte man im Baßbereich viel zu weite und im Diskantbereich viel zu enge Pfeifen. Daher muß sich dieser reine Verhältniswert nach einer bestimmten Regel verändern, wenn über einen größeren Tonbereich ein einheitlicher Klangcharakter erreicht werden soll.

Der Orgeltheoretiker J. G. Töpfer (1791 – 1870) erkannte, daß sich ein gleichbleibender Klangcharakter einstellt, wenn sich die Durchmessermaße zweier Pfeifen im Oktavabstand um den Wert 1 : 4√8 ≈ 1,682 verändern. Dies entspricht einem Verhältnis der Pfeifenquerschnitte, d.h. der Flächen, von 1 : √8 ≈ 2,828.

Der Deutsche Orgelrat beschloß 1927 ein Normmaß für Orgelmensuren, das ausgehend von einer C-Pfeife eines Prinzipal 8'-Registers mit dem Innendurchmesser 155,55 mm den von Töpfer angegebenen Mensurverlauf besitzt. Es ist, auch wenn der heutige Geschmack andere Normen setzen würde, sinnvoll und allgemein üblich geworden, die Mensur von Pfeife im Vergleich zu dieser sogenannten Normmensur zu beschreiben. Auf diesem Wege erhält man aussagekräftige Werte, die den Klangcharakter eine Orgelpfeife beschreiben. Flötenregister sind weitmensuriert und haben eher positive Abweichungen von der Normmensur, Streicher eher enge Mensuren. In kleinen Räumen wird enger mensuriert (kleinere Mensurwerte) als in großen.

Geben Sie einmal testweise im Feld Durchmesser die Zahl 155.5 (mit Dezimalpunkt) ein und im Feld Abweichung NM die Zahl 0. Klicken Sie dann auf Berechnen. Sie erhalten als Ergebnis die Maße einer rechteckigen Pfeife gleichen Querschnitts und namentlich den Ton, bei dem die runde Pfeife mit dem Durchmesser 155.5 mm genau dem Normmaß entsprechen würde, es ist das tiefe C, hier mit C0 angegeben. Beispiel ausführen

Geben Sie nun in das Feld Abweichung NM +5 ein und klicken auf Berechnen. Die berechnete Taste ist jetzt F0, 5 Halbtöne höher als C0. Die Einheit für die Mensurangabe Abweichung NM ist, wie man hieran sieht, der Halbton. Negative Werte bedeuten, daß die Pfeife enger mensuriert ist als eine Pfeife nach dem Normmaß, positive Werte, daß sie weiter mensuriert ist.

Der Rechner berechnet sowohl Mensurwerte nach gegebenen Maßen und Tonangaben als auch Maße nach Mensuren und Tönen. Außerdem wird der klingende Ton in Abhängigkeit von Taste und Register berechnet sowie Frequenz und theoretische Länge (siehe unten) der Pfeife. Bedingt können mit dem Mensurenrechner auch Mensuren von Pfeifen mit rechteckigem und runden Querschnitt ineinander umgerechnet werden. Bei diesen Umrechnungen bleiben die Querschnittsflächen und Labienbreiten konstant. Weitere Erläuterungen hierzu weiter unten.


Hinweise zur Eingabe und zur Bedeutung der Felder

Register Wählen Sie das Register aus der Liste oder geben Sie, falls das gewünschte Register nicht in der Liste aufgeführt ist, die Fußzahl in das Feld »andere« ein. Lassen Sie zwischen ganzzahligem Anteil und dem Bruch ein Leerzeichen. Es werden auch reine Brüche ohne Ganzzahl akzeptiert. Das Apostroph-Zeichen für »Fuß« können Sie weglassen.
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Breite Hierbei handelt sich um die Innen- oder Kernbreite der Pfeife, die meist mit der Labiumbreite übereinstimmt. Das Verhältnis Breite/Umfang wird zur Berechnung einer analogen Labiumbreite der runden Pfeife verwendet.
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Tiefe Die Tiefe der Pfeife, also die Entfernung zwischen den Innenwänden von Deckplatte und Hinterwand.
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Vertiefung Die Vertiefung ist das Verhältnis zwischen Tiefe und Breite der Pfeife. Die Form der Pfeife ist einerseits klangbestimmend, da sie maßgeblich formantenbildend ist. Andererseits gibt sie die Labiumbreite im Verhältnis zur Fläche an (oder zur Tiefe) und damit die Lautstärke der Pfeife, die bei kleineren Vertiefungen größer ist.
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Durchmesser Der Innendurchmesser von runden Pfeifen.
Die Umrechnung zwischen rechteckigen und runden Pfeifen erfolgt hier nach der Theorie, daß unabhängig von der Form die Querschnittsfläche klangbestimmend ist.
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Labiumbreite Die Labiumbreite, am (flachen) Labium der runden Pfeife gemessen.
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Verhältnis zum Umfang Das Verhältnis der Labiumbreite zur Plattenbreite (Umfang der runden Pfeife) können Sie als Dezimalbruch (z.B.: 0.25) oder als reinen Bruch (z.B.: 3/7) eingeben. Wenn ein ganzzahliges Verhältnis mit Nenner und Zähler 100 gefunden werden kann, erfolgt die Ausgabe in reiner Bruchschreibweise, sonst als Verhältnis zu eins (1 zum Kehrwert des Verhältnisses).
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Materialstärke,
Plattenbreite und
Labienbreite in Platte
Die Plattenbreite entspricht dem Umfang der runden Pfeife Umfang = (Durchmesser + Materialstärke) ⋅ π
Die Angabe des Verhältnisses der Labienbreite zum Umfang entspricht nicht dem Verhältnis zwischen der Breite für das Labium und der Plattenbreite für die flach ausgewalzte Platte, da die Labienbreite die Länge einer Sehne durch den kreisförmigen Pfeifenquerschnitt ist, während die Aussparung für das Labium in der flachen Platte der entsprechende Kreisbogenausschnitt ist, der somit größer als die spätere Labiumbreite ist. Dieses Maß (a) errechnet sich folgendermaßen aus Durchmesser (d) und Labiumbreite (b): a = d · sin-1(b/d)
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Abweichung NM Dieser Wert gibt die Abweichung der Mensur zur sogenannten Normmensur in Halbtönen an. Bei positiven Werten können Sie ein + eingeben oder es weglassen. Bei negativen Werten ist das Vorzeichen natürlich unerläßlich. Positive Werte bedeuten, daß die Pfeife dem Normmaß entspräche, wenn sie um soviele Halbtöne tiefer auf der Lade stehen würde. Sie ist also gegenüber der Normmensur um so viele Halbtöne zu weit mensuriert. Bei eine Pfeife, deren Mensur genau der Normmensur entsprechen soll, muß hier 0 eingetragen werden.
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Taste Geben Sie die Taste mit Tonbuchstaben und Oktavzahl ein. Zulässig sind die Tonbezeichnungen c, cis, des, d, dis, es, e, f, fis, ges, g, gis, as, a, ais, b, h oberhalb des kleinen c0, also ab der kleinen Oktave nach oben, sowie in Großschreibung Cis, Es usw. unterhalb des kleinen c0, also ab der Großen Oktave nach unten. Ab der Großen Oktave nehmen die Oktavzahlen nach unten zu. Die Kontraoktave hat die Oktavzahl 1 und die Subkontraoktave 2. Das mittlere eingestrichene c' geben Sie mit c1 an, das zweigestrichene cis" mit cis2, das kleine d mit d0 und das große C, die tiefste Taste der Orgel, mit C0.
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Ton Der Ton wird in Abhängigkeit von Taste und Register berechnet. Zur Bedeutung der Tonbuchstaben lesen Sie bitte die Rubrik Taste.
Hinweis: Die Obertasten werden unabhängig von der Eingabe standardisiert mit cis, dis, fis, gis und b ausgegeben.
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theoretische Länge Die »theoretische Länge« der Pfeife (vom Unterlabium zur Mündung) berechnet sich aus Tonhöhe (Frequenz) und Schallgeschwindigkeit nach der Formel ν·/(c·f) (ν: Schallgeschwindigkeit, c: (Konstante) =2 bei offenen und =4 bei gedackten Pfeifen, f: Frequenz. Mündungskorrektur und andere Einflußgrößen (Winddruck, Bärte, Raum vor Öffnungen) sind nicht berücksichtigt. Diese können zu nicht unbeträchtlichen Abweichungen der theoretischen Pfeifenlänge, die lediglich gemäß der Wellenlänge des Tones berechnet wird, und der tatsächlich nötigen Pfeifenlänge führen. An der Pfeifenmündung reißt die Schwingung der Luftsäule nicht unmittelbar ab, sondern wölbt sich nicht unbeträchtlich in den Raum über der Öffnung hervor. Dies führt zu einer Verlängerung der Wellenlänge und somit zu einer Vertiefung des erklingenden Tones gegenüber dem aufgrund der Pfeifenlänge berechneten. Die Pfeife muß also etwas kürzer gebaut werden, um den erwünschten Ton hervorzubringen. Dies nennt man Mündungskorrektur.
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korrigierte Länge Eine Faustformel zur Bestimmung der Pfeifenlänge unter Berücksichtigung der Mündungskorrektur ist: Theoretische Länge minus 8/3 des Durchmessers bei runden bzw. theoretische Länge minus doppelte Tiefe bei rechteckigen Pfeifen.
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Frequenz Die Frequenz des Tones (Einheit Hertz, Hz) wird in gleichschwebender Temperatur in Abhängigkeit vom angegebenen Stimmton berechnet.
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Stimmton Der Stimmton (Frequenz des eingestrichenen a) dient der Berechnung von theoretischer Länge und Frequenz.
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Schallgeschwindigkeit Die Schallgeschwindigkeit (ν) ist die maßgebliche Größe beim Zusammenhang zwischen Wellenlänge (Pfeifenlänge, λ) und Frequenz (Tonhöhe, f) einer Pfeife: ν=f·λ.
Die Temperatur hat einen erheblichen Einfluß auf die Schallgeschwindigkeit und damit auf die Tonhöhe von Pfeifen. Der Luftdruck dagegen hat keinen Einfluß, da der steigende Druck durch proportional steigende Dichte ausgeglichen wird. Bei 0°C beträgt die Schallgeschwindigkeit in Luft 331 m/s, bei 15°C bereits 340 m/s. Dieser Unterschied bewirkt ein Schwingungsverhältnis von 1,027, das entspricht immerhin 49,5 Cent, d.h. fast einem Viertelton. Wenn eine Orgel bei 18°C auf a'=440Hz gestimmt wird, dann liegt ihr Stimmton bei 5°C etwa nur noch bei 430Hz!
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Die Berechnungsergebnisse werden auf zwei Dezimalstellen gerundet, beim Verhältnis Labiumbreite/Umfang der runden Pfeife auf vier Stellen, falls kein regulärer Bruch gefunden werden konnte.

Wenn Sie Fehler entdecken oder Anregungen für Verbesserungen haben, so ist der Autor dankbar für einen Hinweis!


Der Kleine Rechner

Wenn Sie die Schaltfläche »Kleiner Rechner« betätigen, öffnet sich ein Eingabefenster, in das Sie einen zu berechnenden Term eingeben können. Erlaubt sind die vier Grundrechenarten + - * /, außerdem das Potenzzeichen ^, beliebige Verschachtelung von (runden) Klammern sowie die Funktionen ln() (natürlicher Logarithmus), log(a,b) (Logarithmus von a zur Basis b), exp(), sqr(), sin(), cos(), tan(), asin(), acos(), atan(), abs(), int(), Cent() (berechnet den Centwert aus einem Schwingungsverhältnis), SV() (berechnet das Schwingungsverhältnis aus einem Centwert), ggT(a,b) und kgV(a,b) (größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b). Bei den Funktionen mit zwei Argumenten (log, ggT, kgV) sowie bei Cent() und SV() dürfen nur Zahlen als Argument angegeben werden. Des weiteren stehen die Konstanten π und e zur Verfügung. (Geben Sie pi für π und e für e ein.)
Es gelten die üblichen Rechenregeln. Bei Dezimalbrüchen muß der Dezimalpunkt verwendet werden.
Geben Sie zur Berechnung kein Gleichheitszeichen ein, sondern klicken Sie auf OK oder drücken Sie die Eingabetaste. Zum Weiterbearbeiten (Kopieren und Einfügen) des Ergebnisses kann der Rechner auch über diese Textfelder verwendet werden. Geben Sie den Term in das erste Feld ein und klicken Sie zum Berechnen auf die Schaltfläche [=].


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Kleiner Rechner


Umrechnung zwischen rechteckigen und runden Pfeifen

Es ist kaum möglich, einen allgemeingültigen Weg anzugeben, mit dem aus den Maßen einer rechteckigen (prismatischen) Pfeife auf diejenigen einer runden (zylindrischen) Pfeife geschlossen werden kann, die genau gleich klingt. Da sich die »Mensur«, beschrieben in der Abweichung von der Normmensur, aus der Querschnittsfläche ergibt, ist es immerhin möglich, rechteckige und runde Pfeifen mit gleichem Querschnitt zu berechnen. Diese haben dann eine Voraussetzung dazu, ähnlich zu klingen.
Die Labienbreiten werden bei Umrechnungen übernommen, falls Sie die Maße der zu berechnenden andern Pfeife nicht festlegen.
Der Autor ist sich dessen bewußt, daß dieser schematische Ansatz nicht immer zu realistischen Maßen im Sinne wirklich gleich klingender Pfeifen führen kann. Für Anregungen ist er jederzeit dankbar.

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Orgelpfeifen aus Glas – ein kleines Computergrafikexperiment
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Hinweis

Ursprung dieses Mensurenrechners ist ein kleines PC-Programm, das ich mir vor einigen Jahren schrieb. Ich las Karl Bormanns Buch Heimorgelbau und war (wie viele andere) enthusiasmiert. Es fehlten zwar (bis heute) Zeit, Raum und Werkzeug, um ein richtiges Bauprojekt zum Abschluß zu bringen, aber das »Reisen auf der Landkarte« war im übertragenen Sinne auch hier ein gewisser Ersatz: Neben dem Bau etlicher einzelner Probepfeifen machte auch der geistige Umgang mit den Pfeifen, ihren Formen und Mensuren Spaß und manifestierte sich in einer Reihe weiterer kleiner Programme, die seit Jahren von einigen Arbeitskreismitgliedern genutzt werden. Sie dienen der automatischen Berechnung kompletter Mensurlisten aufgrund weniger Eckdaten. Ein Programm leistet etwa Hilfe bei der Interpolation zwischen Mensurdaten. Ich werde mich bemühen, in den nächsten Tagen ein solches Programm in eine internetkompatible Form zu bringen. Damit können dann (über die Funktion des alten Programmes hinaus) Mensuren analysiert – aber auch interpoliert und in gewissen Grenzen, abhängig von der gewählten Funktionsart, sogar extrapoliert – werden.

Eine erste Testversion dieses Programmes ist seit dem 7. April aufrufbar:
Programm zur Analyse von Mensurlisten, Interpolation, Extrapolation von Mensurdaten

Gerne können Sie mir Anregungen und konstruktive Kritik schicken.
Meine eMail-Adresse ist arndt.bruenner@t-online.de



Version: 17. 10. 2002