Lösungen zur 3. Mathearbeit
1. Aufgabe
Gib jeweils eine quadratische Funktion an, die durch die angegebenen Punkte geht:
Gruppe A
a) S (3|–2) - Lösung: f(x) = (x - 3)² - 2
b) S (–2|5) - Lösung: f(x) = (x + 2)² + 5
c) S (0|0), P (3|–9) - Lösung: f(x) = -x²
d) P1(2|0), P2(4|0) (Nullstellen) - Lösung: f(x) = (x - 3)² - 1 = x² - 6x + 8
Gruppe B
a) S (–4|5) - Lösung: f(x) = (x + 4)² + 5
b) S (2|–2) - Lösung: f(x) = (x - 2)² - 2
c) S (0|0) , P (–4|–16) - Lösung*: f(x) = -x²
d) P1 (–1|0), P2 (1|0) (Nullstellen) - Lösung*: f(x) = x² - 1
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* Hinweis zur Lösbarkeit von c) und d):
Skizze machen! (Koordinatensystem mit gegebenen Punkten zeichnen und passende
Normalparabel suchen und zeichnen. Das ist ganz leicht, wenn man beachtet, daß
Parabeln symmetrisch sind.)
Bei c) "nach unten geklappte" Normalparabel, bei d) verschobene Normalparabel.
Scheitelpunkt ablesen und Gleichung mittels Scheitelpunktform hinschreiben.
Bei d) konnte auch der Satz von Viéte angewendet werden, da beide Nullstellen
gegeben sind: Deren x-Koordinaten entsprechen den Lösungen der Gleichung
f(x) = x² + px + q = 0. Es gilt somit: p = -(x1 + x2) und q = x1·x2
Þ f(x) = x² - (2 + 4)x + 2·4 = x² - 6x + 8 (Gruppe A)
f(x) = x² - (-1 + 1)x + (-1)·1 = x² - 1 (Gruppe B)
2. Aufgabe
a) Welche der folgenden Funktionen f(x), g(x) und h(x) besitzen einen Scheitelpunkt?
b) Gib die Scheitelpunkte an, wenn sie existieren!
c) Ist dort ein Maximum oder ein Minimum?
Gruppe A
f(x) = 2x² + 5x – 6
h(x) = 5x – 3
g(x) = (x + 14,6)² – 23,2
Lösung:
a) f(x) und g(x) sind Parabeln mit a¹0, daher besitzen sie einen Scheitelpunkt,
h(x) ist eine Gerade, besitzt also keinen Scheitelpunkt.
b) f(x): xs = -5/(2·2) = -1,25
ys = f(-1,25) = 2·1,5625 + 5·(-1,25) - 6 = -9,125
S (-1,25|-9,125)
g(x): Scheitelpunkt direkt ablesbar, da Gleichung in Scheitelpunktform
gegeben: S (-14,6|-23,2)
c) beide Scheitelpunkte sind Minima, da jeweils a > 0
Gruppe B
f(x) = 4x + 5
g(x) = 3x² – 6x + 16
h(x) = (x – 12,1)² – 3,14159265358979323846...
Lösung:
a) g(x) und h(x) sind Parabeln und besitzen einen Scheitelpunkt,
f(x) ist eine Gerade und besitzt damit keinen.
b) g(x): xs = -(-6)/(2·3) = 6/6 = 1
ys = g(1) = 3 - 6 + 16 = 13
S (1|13)
h(x): Gleichung ist in Scheitelform gegeben, daher Koordinaten
direkt ablesbar: S (12,1|-p)
c) beide Scheitelpunkte sind Minima, da jeweils a > 0
3. Aufgabe
Bestimme f'(x), f''(x) und f'''(x)
Gruppe A
f(x) = x²
f(x) um 4 nach links verschoben Þ f'(x)
f'(x) um 5 nach oben verschoben Þ f''(x)
f''(x) um 3 nach rechts verschoben Þ f'''(x)
Lösung:
f'(x) = (x + 4)²
= x² + 8x + 16
f''(x) = x² + 8x + 21
f'''(x) = (x - 3)² + 8(x - 3) + 21
= x² - 6x + 9 + 8x - 24 + 21
= x² + 2x + 6
Gruppe B
f(x) = x²
f(x) um 5 nach rechts verschoben Þ f'(x)
f'(x) um 4 nach unten verschoben Þ f''(x)
f''(x) um 1 nach links verschoben Þ f'''(x)
Lösung:
f'(x) = (x - 5)²
= x² - 10x + 25
f''(x) = x² - 10x + 21
f'''(x) = (x + 1)² - 10(x + 1) + 21
= x² + 2x + 1 - 10x - 10 + 21
= x² - 8x + 12
4. Aufgabe
Wahre Aussagen:
Ä Jede Parabel ist symmetrisch
Ä Jede Parabel hat eine senkrechte Symmetrieachse
Ä Jede Parabel ist eine Funktion
Ä Jede Parabel hat genau einen Schnittpunkt mit der y-Achse
Ä Jede Parabel hat einen Scheitelpunkt
Ä Durch die Angabe von a und dem Scheitelpunkt ist die Parabel f(x)=ax² + bx + c eindeutig festgelegt
Ä Durch die Angabe von Scheitelpunkt und c ist die Parabel f(x)=ax² + bx + c eindeutig festgelegt
Ä Die Parabel f(x) = 2x² + 2 ist gegenüber der Parabel g(x) = x² – 1 um 3 nach oben verschoben und um 2 in Richtung y-Achse gestreckt.
Falsche Aussagen:
O Durch die Angabe des Scheitelpunktes ist die Parabel eindeutig festgelegt
O Jede Parabel hat genau zwei Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen)
O Jede Parabel hat genau eine Nullstelle
O Jede Parabel hat mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achse
O Die Parabel f(x) = (x – 3)² + 4,5 hat den Scheitelpunkt (–3|4,5)
O Die Parabel f(x) = 3x² – 2 ist gegenüber der Parabel g(x) = x² – 1 um 3 nach oben verschoben und um 2 in Richtung y-Achse gestreckt.
O Die Parabel f(x) = (x + 3)² + 4 hat den Scheitelpunkt (–3|–4)
5. Aufgabe
Hedwig kauft 12 m (in Gruppe A) bzw. 15 m (in Gruppe B) feinmaschigen Drahtzaun,
um an die Hauswand einen rechteckigen Auslauf für ihr Kaninchen Karl zu bauen.
Die Hauswand begrenzt den Auslauf an einer Seite, d.h. für drei Seiten ist eine
Zaunbegrenzung nötig.
a) Wie muß sie die Seitenlängen wählen, um eine maximale Fläche einzuzäunen?
b) Erläutere, warum das eingesetzte Rechenverfahren funktioniert!
Lösung:
a)
Die Zaunlänge setzt sich zusammen aus zwei Teilstücken der Länge x, die rechtwinklig
von der Wand weggehen, und einem Stück der Länge y, das parallel zur Wand verläuft.
Also: 2x + y = 12 (Gruppe A) (1)
2x + y = 15 (Gruppe B)
Der Flächeninhalt beträgt F = x·y (2)
Löse (1) nach y auf, setze in (2) ein und bringe die Gleichung in Normalform:
A: y = 12 - 2x
F = x·(12 - 2x)
= 12x - 2x²
= -2x² + 12x
B: y = 15 - 2x
F = x·(15 - 2x)
= 15x - 2x²
= -2x² + 15x
Bestimme die x-Koordinate des Scheitelpunktes dieses Funktionstermes:
A: xs = -12/(2·(-2))
= 3
B: xs = -15/(2·(-2))
= 3,75
Bestimme y:
A: y = 12 - 2·3 = 6
B: y = 15 - 2·3,75 = 7,5
b) Das Verfahren nutzt aus, daß die quadratische Funktion, die man für die Fläche
erhält, einen Scheitelpunkt besitzt und dort eine Stelle mit - in diesem Falle -
maximalem Funktionswert annimmt. Die Lage des Scheitelpunktes kann in Abhängigkeit
von den Parametern a und b leicht bestimmt werden.
Zusatzaufgabe:
Herwig möchte hinten an der Gartenmauer einen 8m² großen, rechteckigen Komposthaufen
anlegen, der auch an einer Seite von der Mauer begrenzt wird.
Wie muß er die Seitenlängen wählen, um einen minimalen Verbrauch an zusätzlichem
Einfassungsmaterial zu haben.
Lösung:
Fläche:
8 = x·y
Û y = 8/x
Strecke (s):
2x + y = s
2x + 8/x = s
Es muß herausgefunden werden, wo der Term 2x + 8/x den kleinsten Wert annimmt.
Da 2x + 8/x = s keine quadratische Gleichung ist, ist das Verfahren mit der
Bestimmung des Scheitelpunktes nicht anwendbar.
Mögliches Verfahren: Wertetabelle anfertigen und durch Ausprobieren und Verfeinern
besten Wert annähern:
x s
1 10,000
2 8,000 ¬ hier (x=2) kleinster Wert für s
3 8,667
4 10,000
5 11,600
6 13,333
7 15,143
8 17,000
9 18,889
10 20,800
Bereich zwischen 1 und 3 näher untersuchen, da hier der kleinste
Materialverbrauch vorliegt (kleinste Strecke):
x s
1,5 8,333
1,75 8,071
2,0 8,000 ¬ kleinster Wert
2,25 8,056
2,5 8,200
Bereich dicht um 2 untersuchen:
x s
1,99 8,0001
2,00 8,0000 ¬ kleinster Wert
2,01 8,0001
Offensichtlich ist 2 der beste Wert für x und damit 4 für y.