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Quadratische Funktion durch 3 Punkte finden

→ Gleich zum Rechner

Auf dieser Seite wird beschrieben, wie man eine Parabel findet, die durch drei gegebene Punkte geht. Am nebenstehenden Applet ist zu sehen, daß durch drei Punkte mit verschiedenen x-Werten offensichtlich stets eine Parabel gezeichnet werden kann.

→Unten befindet sich ein Rechner, der die Funktionsgleichung zu drei vorgebbaren Punkten findet.

Gesucht ist eine quadratische Funktion der Form f(x) = ax² + bx + c. Da f(x)=y ist, müssen die Koordinatenpaare jedes gegebenen Punktes (x|y) die Funktionsgleichung erfüllen, d.h. (x|y) = (x|f(x)). Wenn man die Koordinaten der drei Punkte nacheinander in die Funktionsgleichung einsetzt, erhält man drei (lineare!) Gleichungen mit jeweils drei Unbekannten (a, b und c), mithin ein lineares Gleichungssystem, das nach den Unbekannten gelöst werden kann.

   
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Beispiel

geg.: A(-1|12), B(2|15), C(5|-18)
ges.: a, b, c ∈ℜ, so daß A, B und C auf y = ax² + bx + c liegen

Setze die Koordinaten von A in die Funktion ein:    12 = a·(-1)² + b·(-1) + c
                                                       = a - b + c

 "   -   "   -   "        B       "    -    "       15 = a·2² + b·2 + c
                                                       = 4a + 2b + c

 "   -   "   -   "        C       "    -    "      -18 = a·5² + b·5 + c
                                                       = 25a + 5b + c

  a - b + c = 12  
4a + 2b + c = 15 -4·I
25a + 5b + c = -18 -25·I
  a - b + c = 12  
6b - 3c = -33 :6
30b - 24c = -318
  a - b + c = 12   +II
b - 0,5c = -5,5
30b - 24c = -318 -30·II
  a + 0,5c = 6,5  
b - 0,5c = -5,5
-9c = -153 :(-9)
  a + 0,5c = 6,5  -0,5·III
b - 0,5c = -5,5 +0,5·III
c = 17
  a = -2  
b = 3
c = 17
Ergibt: f(x) = -2x² + 3x + 17 Probe für Punkt A: -2·(-1)² + 3·(-1) + 17 = -2 - 3 + 17 = 12 OK B: -2·2² + 3·2 + 17 = -8 + 6 + 17 = 15 OK C: -2·5² + 3·5 + 17 = -50 + 15 + 17 = -18 OK

Löst man das Gleichungssystem für den allgemeinen Fall, also für die Punkte P1(x1|y1), P2(x2|y2) und P3(x3|y3), so erhält man eine Formel für die Koeffizienten:

  x1²a + x1b + c = y1   :x1²
x2²a + x2b + c = y2
x3²a + x3b + c = y3
  a + x1/x1²·b + 1/x1²·c = y1/x1²  
x2²·a + x2·b + c = y2 -x2²·I
x3²·a + x3·b + c = y3 -x3²·I
  a + 1/x1·b + 1/x1²·c = y1/x1²  
(x2-x2²/x1)·b + (1-x2²/x1²)·c = y2-x2²y1/x1²
(x3-x3²/x1)·b + (1-x3²/x1²)·c = y3-x3²y1/x1²
  a + 1/x1·b + 1/x1²·c = y1/x1²  
(x1x2-x2²)/x1·b + (x1²-x2²)/x1²·c = (x1²y2-x2²y1)/x1² ·(x1/(x1x2-x2²)
(x1x3-x3²)/x1·b + (x1²-x3²)/x1²·c = (x1²y3-x3²y1)/x1²
  a + 1/x1·b + 1/x1²·c = y1/x1²   -1/x1·II
b + (x1²-x2²)/(x1²x2-x1x2²)·c = (x1²y2-x2²y1)/(x1²x2-x1x2²)
(x1x3-x3²)/x1·b + (x1²-x3²)/x1²·c = (x1²y3-x3²y1)/x1² -(x1x3-x3²)/x1·II
usw.
  a = (x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2))/((x1-x2)(x1-x3)(x3-x2))  
b = (x1²(y2-y3)+x2²(y3-y1)+x3²(y1-y2))/((x1-x2)(x1-x3)(x2-x3))
c = (x1²(x2y3-x3y2)+x1(x3²y2-x2²y3)+x2x3y1(x2-x3))/((x1-x2)(x1-x3)(x2-x3))

Mit den so gewonnenen Koeffizienten a, b und c stellt sich die Formel für die x-Koordinate des Scheitelpunktes (siehe →hier) so dar:

xS = (x2²(y3 - y1) - x1²(y3 - y2) - x3²(y2 - y1))/(2(x2(y3 - y1) - x1(y3 - y2) - x3(y2 - y1)))

Mit ihr ist es möglich, aufgrund dreier Punkte einer Parabel die Stelle ihres Extremwerts (=Scheitelpunkt) direkt zu berechnen.

Ist der Abstand der x-Werte konstant d, und gilt x1+d=x2=x3-d, so reduziert sich dies zu:
xS = x2 + d/2·(y3 - y1)/(2y2 - y1 - y3)

Beispiel: P1(-4|-2), P2(1|10), P3(6|7), also ist d=5, und xS = x2 + d/2·(y3 - y1)/(2y2 - y1 - y3) = 1 + 2,5·(7 - (-2))/(20 - (-2) - 7) = 1 + 2,5·9/15 = 2,5

 

Rechner

Gib die Koordinaten der Punkte ein. Berechnet werden die Funktionsgleichung in Normalform und Scheitelpunktform sowie die Nullstellen (x1 und x2) und der Scheitelpunkt (S). Die berechnete Parabel wird rechts automatisch gezeichnet.

xy
P1    
P2   
P3
   
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Alternative Eingabe (Punkte mit Koordinaten (x|y) und/oder Gleichungen mit Parametern a, b und c)

 
zeichnen: f(x)=

Falls Normalparabeln durch 2 Punkte gesucht werden, können hier a=1 und die beiden Koordinatenpaare eingegeben werden. Es sind aber auch andere Festlegungen von Parametern und Scheitelpunktkoordinaten (mit xs= bzw. ys=) oder die Definition von Zusammenhängen zwischen den Parametern möglich. Mit f() und f'() können Funktions- und Ableitungswerte referenziert werden. Außerdem stehen die meisten elementaren Standardfunktionen zur Verfügung. Sowohl die Argumente dieser Funktionen als auch die Koordinaten der Punkte können Terme sein, die auch die Parameter enthalten dürfen.

 


© Arndt Brünner, Gelnhausen, 26. 10. 2003
Version: 1. 1. 2004
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