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Zu linearen Funktionen

Zur Standardschreibweise f(x)=mx+b, der Bedeutung von m und b, zum Zeichnen des Graphen und zum Ablesen der Funktionsgleichung aus dem Graphen →siehe hier (Erklärung) bzw. →hier (Übungsseite)

Auf dieser Seite findest Du Erklärungen und Beispiele zu folgenden Themen:
   → Liegt ein bestimmter Punkt auf dem Graphen?
   → Berechnung der Nullstelle
   → Berechnung des Schnittpunktes zweier (linearer) Funktionen
   → Textaufgaben

 

Liegt ein Punkt auf dem Graphen der Funktion?

Ein Punkt hat eine x- und eine y-Koordinate. Er liegt genau dann auf dem Graphen der Funktion f, wenn f(x)=y gilt. Man setze also die x-Koordinate des Punktes in den Funktionsterm für x ein und berechne ihn. Wenn das Ergebnis y ist, liegt der Punkt drauf, sonst nicht.

Beispiele:
  geg.: Punkte A(2|2), B(3|-7), C(4|8); Funktion f(x) = 3x - 4
  Überprüfung für Punkt A(2|2): Berechnen von f(2) = 3·2 - 4 = 2
        Das ist die y-Koordinate von A, also liegt A auf dem Graphen.
  Überprüfung für Punkt B(3|-7): f(3) = 3·3-4 = 5  -7   B liegt nicht auf f.
  Überprüfung für C(4|8): f(4) = 3·4-4 = 8 = 8  C liegt auf f.

 

Berechnung der Nullstelle

Die Nullstelle ist die Stelle, bei der f(x)=0 ist. Dort schneidet der Graph die x-Achse. (Überall auf der x-Achse gilt: y=0.) Um diese Stelle herauszufinden, also den Wert für x zu ermitteln, bei dem f(x)=0 gilt, setzt man den Funktionsterm gleich Null und löst die entstandene Gleichung nach x auf.

1. Beispiel: gesucht ist die Nullstelle von f(x) = -0,6x + 5,25.
              f(x) = 0
      -0,6x + 5,25 = 0        | - 5,25
             -0,6x = -5,25    | :(-0,6)
                 x = 8,75
      Probe: f(8,75) = -0,6·8,75 + 5,25 = -5,25 + 5,25 = 0 J

2. Beispiel: gesucht ist die Nullstelle von f(x) = 3,5x - 4,9
              f(x) = 0
        3,5x - 4,9 = 0        | + 4,9
              3,5x = 4,9      | : 3,5
                 x = 1,4
      Probe: f(1,4) = 3,5·1,4 - 4,9 = 0 

 

Berechnung des Schnittpunktes zweier Funktionen

Der Schnittpunkt (xSP|ySP) zweier Funktionen f(x) und g(x) liegt auf beiden Graphen.
Das heißt, f(xSP) und g(xSP) müssen den gleichen Wert ergeben, nämlich die y-Koordinate des Schnittpunktes: ySP. Es muß daher gelten: f(xSP)=g(xSP), weiterhin ist f(xSP)=g(xSP)=ySP.

Man setzt, um das entsprechende x zu ermitteln, bei dem f(x)=g(x) gilt, die beiden Funktionsterme gleich, löst die Gleichung nach x auf und erhält so xSP, die x-Koordinate des Schnittpunkts. Setzt man den erhaltenen Wert in eine der Funktionen ein (egal in welche!), erhält man die y-Koordinate des Schnittpunkts, ySP.

1. Beispiel: 
  geg.: f(x) = 2x + 1
        g(x) = 3x + 2
  ges.: Schnittpunkt (xSP|ySP)

  Berechnung von xSP:
      (Der Lesbarkeit zuliebe schreibe ich statt xSP während der Umformung nur x)
         f(x) = g(x)
       2x + 1 = 3x + 2    | - 3x
       -x + 1 = 2         | - 1
       -x = 1             | ·(-1)
       xSP = -1
            
  Berechnung von ySP:
     ySP = f(xSP) = 2·(-1) + 1 = -1
   oder
     ySP = g(xSP) = 3·(-1) + 2 = -1

2. Beispiel: 
  geg.: f(x) = 14x - 232
        g(x) = -0,01x + 100021
  ges.: Schnittpunkt

  Berechnung von xSP:

         f(x) = g(x)
    14x - 232 = -0,01x + 100021    | + 0,01x
 14,01x - 232 = 100021             | + 232
       14,01x = 100253             | : 14,01
          xSP = 10025300/1401 = 7155,81727337616...    (Periodenlänge: 233)
            
  Berechnung von ySP:
     ySP = f(xSP) = 14·10025300/1401 - 232 = 140029168/1401 = 99949,4418272662384...
   oder
     ySP = g(xSP) = -0,01·10025300/1401 + 100021 = 140029168/1401

 

Aufstellen von Funktionsgleichungen zu Textaufgaben

Da eine Funktion eine Zuordnung zwischen einer gegebenen und einer berechneten, d.h. von der gegebenen abhängigen, Größte ist, sollte man zunächst diese beiden Größen aus dem Text herauslesen.
Als zweiten Schritt sollte man überlegen, wie der Anfangszustand der berechneten Größe ist, bzw. der Wert der zugeordneten Größe, wenn die vorgegebene Größe 0 ist. Dieser Anfangszustand ist das b der Funktionsgleichung.
Als dritten Schritt überlege, um welchen Wert die berechnete Größe zu- oder abnimmt, wenn die vorgegebene Größe um 1 wächst. Das ist das m, die Steigung der Funktion. Falls die berechnete Größe wächst, wenn die gegebene Größe wächst, ist m positiv, sonst ist m negativ.

1. Beispiel:
  "Die monatliche Grundgebühr eines Internetzuganges beträgt 12 Euro. 
   Eine Sekunde Online-Zeit kostet 0,035 Cent. 
   a) Stelle die Funktionsgleichung f der Kosten, abhängig von der Online-Zeit auf.
   b) Berechne die Kosten für 17,5h Onlinezeit!
   c) Berechne, wie lange man für 50 Euro online sein kann!"
   1.) Die vorgegebene Größe ist die Zeit; wir wählen als Einheit Minuten.
       Die abhängige Größe sind die Kosten k in Euro, die eine Funktion der Zeit t sind:
       f: t ╶→ k
       k = f(t)
   2.) Der "Anfangszustand" der berechneten Größe ist hier der Betrag, der zu bezahlen ist,
       wenn man 0 Minuten online ist. Er ist die Grundgebühr, 12 Euro.
       Also gilt für das b der Funktion: b=12.
   3.) Mit jeder zusätzlichen Minute, die man online ist, steigen die Gebühren 
       um 60·0,00035 = 0,021 Euro. Damit gilt: m=0,021.
       (m ist positiv, weil die Kosten mit wachsender Zeit steigen.)
    a) Die gesuchte Funktionsgleichung ist somit f(t) = 0,021t + 12
    b) 17,5 h = 17,5·60 = 1050 min. Gesucht sind die Kosten für 1050 min, also f(1050):
       f(1050) = 0,021·1050 + 12 = 34,05 Euro.
    c) Gesucht ist dasjenige t, für das die Kosten f(t)=50 Euro betragen:
       f(t) = 0,021t + 12 = 50    | - 12
              0,021t = 38         | : 0,021
              t = 38000/21  1809,5238 min  30h 9min 31s

2. Beispiel:
  "Herr B. tankt sein Auto vor einer Urlaubsfahrt voll; sagen wir, der Tank faßt 48 l.
   Sein altes, aber treues Auto verbraucht bei gelassener Fahrt durchschnittlich 
   7,8 l auf 100km.
   a) Wieviel l sind nach 276km noch im Tank? 
   b) Wie weit kommt Herr B. maximal?"
   1.) Der Stand der Benzinuhr y hängt von der Anzahl der gefahrenen km, der Strecke s ab. 
       Somit ist f: s ╶→ y  oder y = f(s)
   2.) Der Benzinstand bei s=0 ist 48, damit ist b=48.
   3.) Pro km fällt der Benzinstand um 7,8/100 = 0,078, also m = -0,078.
   Die gesuchte Funktion ist y = f(s) = -0,078s + 48.
    a) gesucht ist f(s) für s=276, es muß also f(276) berechnet werden:
       f(276) = -0,078·276 + 48 = 26,472
       Nach 276km sind noch 26,472 l im Tank.
    b) gesucht ist die Strecke, in der y=0 wird, also die Nullstelle f(s) = 0:
       f(s) = -0,078s + 48 = 0   | - 48
              -0,078s = -48      | :(-0,078)     
              s = 615,3846...
       Herr B. kann unter den genannten Umständen ca. 615km mit der Tankfüllung fahren.

3. Beispiel:
   "Hase Friedrich und Igel Hans veranstalten ein Wettrennen über 100m. 
    Friedrich, der sich für sehr überlegen hält, gibt Hans 80m Vorsprung. 
    Der Hase erreicht quasi aus dem Stand eine konstante Geschwindigkeit von 28km/h, 
    der Igel immerhin von 6,5km/h.
    a) Stelle Funktionsgleichungen für den noch zurückzulegenden Weg s, 
       abhängig von der Zeit t, für beide auf.
    b) Nach welcher Zeit und in welchem Abstand zum Ziel begegnen sie sich?
    c) Wie lange brauchen sie zum Ziel?
    d) Wer gewinnt?"
    1.) Die vorgegebene Größe ist die Zeit t, die davon abhängige ist die Distanz zum Ziel.
        Sagen wir, die Distanz sei positiv, wenn sich der Läufer noch vor dem Ziel befindet,
        und negativ, wenn er das Ziel passiert hat.
        Die Funktionen sind Zuordnungen dieser Art: t ╶→ s
    2.) Der Hase Friedrich hat bei t=0 noch 100m zu laufen, also ist f(0) = bf = 100
        Für den Igel Hans gilt für t=0 entsprechend: h(0)=bh = 20.
    3.) Bei Friedrich nimmt die Strecke pro Stunde um 28km = 28000m ab, das sind
        28000/3600 = 70/9 = 77/9 m/s. 
        Weil die Distanz mit zunehmender Zeit kleiner wird, ist m negativ:
        mf = - 70/9 = -77/9 = -7,77777...
        Für Hans gilt entsprechend:
        mh = -6500/3600 = -65/36 = -129/36 = -1,805555555....
     a) Somit ist f(t) = -70/9·t + 100  und  h(t) = -65/36·t + 20
     b) Gesucht ist der Schnittpunkt der Funktionen, also denjenigen Wert für t, 
        für den f(t)=h(t) gilt:
        -70/9·t + 100 = -65/36·t + 20     | + 65/36·t
        (65/36 - 70/9)t + 100 = 20        | - 100
        (65/36 - 70/9)t = -80
        (65/36 - 280/36)t = -80
        -215/36·t = -80                   | :(-215/36)
        t = 576/43  13,395
        Sie sind/wären nach ca. 13,395s gleichauf.
        Berechnung der Zieldistanz bei der Begegnung: 
        f(576/43) = -70/9·576/43 + 100 = -4480/43 + 4300/43 = -180/43  -4,186m
        zur Kontrolle: h(576/43) = -65/36·576/43 + 20 = -1040/43 + 860/43 = -180/43 = f(576/43)
        Wegen f(576/43)=g(576/43)<0 liegt dieser Punkt gemäß unserer Definition
        jenseits des Zieles!
     c) Gesucht ist das t mit f(t)=0 und das t mit h(t)=0, also die Nullstellen der Funktionen:
        f(t) = -70/9·t + 100 = 0   | -100
               -70/9·t = -100      | :(-70/9)
               t = 900/70 = 90/7  12,857s
        h(t) = -65/36·t + 20 = 0   | -20
               -65/36·t = -20      | :(-65/36)
               t = 720/65 = 144/13  11,0769s
     d) Der Igel gewinnt, denn der Hase holt ihn erst hinter dem Ziel ein (siehe b)
        und benötigt länger zum Ziel (siehe c).

     Zugabe: Wie schnell müßte Friedrich laufen, um Hans vor dem Ziel einzuholen?
        Seine Geschwindigkeit ist 70/9 m/s, entspricht also -m seines Funktionsterms. 
        Es gilt also, ein m zu bestimmen, für das er früher im Ziel ist als Hans oder 
        für das er bereits hinter dem Ziel ist, wenn Hans ankommt. Die erforderliche
        Geschwindigkeit ist dann -m.
        Hans ist nach 144/13s im Ziel (siehe c).
        Zu dem Zeitpunkt will Friedrich bereits hinter dem Ziel sein, es sollte also
        nach unserer Definition gelten: f(144/13) < 0.
        Damit kann man m berechnen und die gesuchte Geschwindigkeit:
        f(144/13) = m·144/13 + 100 < 0    | - 100
                    144/13·m < -100       | :(144/13)
                    m < -1300/144 = -325/36 = -9,0277777...
        Friedrich muß daher schneller als 9,02777...m/s = 32,5 km/h laufen, um Hans
        zu besiegen.

        Übung: Berechne, wie langsam Hans laufen müßte, damit Friedrich auch mit der
        Geschwindigkeit von 28km/h gewinnen kann. Oder welcher Vorsprung für einen
        gemeinsamen Zieleinlauf nötig wäre.

© Arndt Brünner, 12. 9. 2003
eMail: arndt.bruenner@t-online.de
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