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Umrechnung von Zahlensystemen

→ Was sind Zahlensysteme?
→ Anwendung des Hornerschemas
→ Umwandlung Binär ↔ Hexadezimal
→ Umwandlung von "Kommazahlen" (b-adischen Brüchen)
→ Berechnen der Periodenlängen von Kommazahlen

Wähle die Zahlensysteme und gib in eines der Textfelder eine Zahl im zugehörigen gewählten System ein. Im anderen Textfeld erscheint die Zahl in das andere System umgerechnet.
Bei Wahl eines anderen Zahlensystems wird das zugehörige Textfeld entsprechend neu berechnet, nicht die Zahl zur Berechnung des anderen Feldes uminterpretiert.

Zahlensystem Ziffernfolge

Klicke für eine Erläuterung des Rechenweges der letzten Umwandlung auf diesen Button:

                  bei jeder Eingabe erklären

Wollten Sie die Umwandlung eigentlich gerne in die andere Richtung erklärt haben?
Kein Problem: Einfach eine Ziffer der Zahl, die gegeben sein soll, neu schreiben. Damit wird die andere Zahl neuberechnet, und nach erneutem Klick auf den Button wird dieser Weg erklärt.

 

Anwendung des Hornerschemas

Die Umrechnung ins Dezimalsystem läßt sich in der Praxis vereinfachen durch Anwendung des sogenannten Hornerschemas. Bei der Addition der Produkte aus Stellenziffer und Potenz der Systembasis lassen sich sukzessive die Basen ausklammern, was insgesamt die Zahl der erforderlichen Rechenschritte reduziert und die Berechnung sehr schematisch macht.

Um eine Erklärungen zur Anwendung des Hornerschemas auf die Umwandlung ins Dezimalsystem zu sehen, wandeln Sie im obigen Formular eine Zahl aus einem beliebigen System (natürlich außer dem Dezimalsystem) in das Dezimalsystem um und klicken auf den [Wie geht das?]-Button. Die Berechnung mittels des Hornerschemas wird dann in diesem Fenster erläutert.

Das Hornerschema findet seine Verwendung vor allem beim Berechnen von Polynomen. Hierbei tritt an die Stelle der Basis der Wert der Variablen und an die Stelle der Ziffern die Koeffizienten des Polynoms, wobei man mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz anfängt. Man spart sich bei diesem Verfahren das aufwendige Berechnen der Potenzen der Variable, was viel stärker ins Gewicht fällt als bei Stellenwertsystemen!


 

Kleiner Mathematikerwitz

Warum können amerikanische Mathematiker Weihnachten (wird dort erst am 25. Dezember gefeiert) nicht von Halloween (31. Oktober) unterscheiden?

Antwort: Weil 31(oct) = 25(dez)



 
Was sind Zahlensysteme?

Wir rechnen im Alltag mit dem Dezimalsystem (lat. decimus, der Zehnte) und verwenden dabei die zehn Ziffern 0, 1, ... 9. Der Wert einer Ziffer in einer Zahl hängt von ihrer Stelle ab, die erste 3 in 373 hat z.B. einen anderen Wert als die zweite 3, nämlich dreihundert und nicht drei. Im Dezimalsystem entspricht jeder Stelle eine Potenz der Basis 10: 100=1, 101=10, 102=100 usw.

Nach dieser Art kann man auch Zahlensysteme erzeugen, die eine andere Basis besitzen als 10. Jede Stelle steht für ein Vielfaches der entsprechenden Potenz der Basis, und der Ziffernvorrat ist stets 0 bis Basis-1. Das System zur Basis 2 hat damit nur die beiden Ziffern 0 und 1. Da "0 und 1" auch für "ja oder nein" oder "an oder aus" oder "Strom oder nicht-Strom" stehen kann, ist dies das Zahlensystem, in denen eigentlich Computer "rechnen" und Daten speichern: Die kleinste Informationseinheit, das Bit, ist gerade die Information über die beiden Möglichkeiten 1 oder 0.

Ebenfalls in der Computertechnik gebräuchlich ist das Hexadezimalsystem, das Zahlensystem mit der Basis 16. Da nur 10 Zahlenzeichen zur Verfügung stehen, verwendet man die ersten sechs Buchstaben des Alphabets für die Zahlen 10 bis 15.
Die Standardeinheit der Informationsgröße ist ein Byte, das sind 8 Bit. Ein Byte ist die Information über eine aus 256 Möglichkeiten, denn die je zwei Zustände der acht Bits ermöglichen insgesamt 28=256 Möglichkeiten.
(In dezimaler Darstellung: 0, 1, 2, ... bis 255, im Binärsystem: 00000000, 00000001, 00000010, ... bis 11111111.)
Diese Einheit läßt sich mit dem 16er-System viel besser handhaben als mit dem Dezimalsystem, denn 256 ist gerade 162. Somit entsprechen in einer Hexadezimalzahl immer genau zwei Ziffern einem Byte.

 
Das Umrechnen erfolgt in diesem Javascript stets über das Dezimalsystem. d.h. die Quellzahl wird zunächst in das Dezimalssystem und erst dann in das Zielsystem umgewandelt. Wenn die eine Basis eine Potenz der anderen darstellt, geht es auch einfacher (siehe nächster Abschnitt)! Um Details über das Verfahren zu erfahren, wähle in den Listenfelden zwei verschiedene Systeme und gib in eines der beiden Textfelder eine Zahl im entsprechendenen System ein. Dann klicke auf den Button [ Wie geht das? ], und im großen Textfeld wird eine genaue Erklärung angezeigt, wie die Zahl umgewandelt wurde.

 

Umwandeln von Binär- in Hexadezimalzahlen und umgekehrt
Hexa-
  dezimal  
Binär           Hexa-
  dezimal  
Binär   
0000081000
1000191001
20010A1010
30011B1011
40100C1100
50101D1101
60110E1110
70111F1111

Jeweils 4 Binärstellen entsprechen einer Hexadezimalstelle, denn 16 = 24. Daher lassen sich diese Systeme auch ohne Umweg direkt und stellenweise umwandeln:

Vom Binär- ins Hexadezimalsystem:
Unterteile die Binärzahl von rechts nach links in 4er-Päckchen, und wandle jedes Päckchen nach nebenstehender Tabelle in die entsprechende Hexadezimalziffer um.

Vom Hexadezimal- ins Binärsystem:
Wandle die Hexadezimalziffern der Reihe nach in die entsprechenden vierstelligen Binärzahlen um.

Beispiele:
49A02(16) = 0100 1001 1010 0000 0010(2) = 1001001101000000010(2)
10010110101011(2) = 0010 0101 1010 1011(2) = 25AB(16)

Hexadezimal
Binär

 


Noch ein Witz (?)

Es gibt 10 Gruppen von Menschen: diejenigen, die das Binärsystem verstehen, und die anderen.


 

 

Umwandeln von Nachkommazahlen

Das Stellenwertsystem läßt sich rechts vom Komma logisch fortsetzen: Die erste Stelle nach dem Komma repräsentiert die Vielfachen von b-1 = 1/b zur Zahlenbasis b, die zweite Stelle die Vielfachen von b-2 = 1/b² usw.
Bei der Zahl 0,632 sitzt die 6 auf der Zehntelstelle, die 3 auf der Hunderstelstelle und die 2 auf der Tausendstelstelle. Ein Zehntel ist 10-1, ein Hundertstel 10-2 usw.

Wenn z1, z2, z3, ... die Nachkommaziffern einer Zahl zur Basis b sind, so errechnet sich der Wert durch die Summe

     z1       z2      z3            zn
    ———  +   ———  +  ———  + ... +  ———
     b1       b2      b3            bn

Der Hauptnenner aller Brüche ist bn. Durch Erweitern ergibt sich der Algorithmus, der im obigen Script zur Umrechnung ins Dezimalsystem verwendet und anhand der interaktiven Beispiele erläutert wird:

     bn-1·z1 + bn-2·z2 + bn-3·z3 + ... + zn
 =  ———————————————————————————————————
                    bn

Beispiel:
 
Die Binärzahl 0,1011 entspricht der Summe der Brüche

   1     0     1      1       8·1  +  0  +  2·1  +  1       8 + 2 + 1        11
  ——— + ——— + ——— + ————  =  —————————————————————————  =  ———————————   =  ————  =  0,6875(10)
   2     4     8     16                  16                    16            16

Die strenge Analogie zwischen der Umwandlung von ganzzahligen und gebrochenen Teilen läßt sich gut bei den interaktiven Erläuterungen zum Rechner oben auf dieser Seite sehen.

 

Die Umwandlung von Dezimalbrüchen in andere Zahlensysteme ("b-adische Brüche") weist ebenfalls Analogien zur Umwandlung der Ganzzahlen auf. Dem Teilen mit Rest durch die Basis bei den Ganzzahlen entspricht hier das Multiplizieren mit der Basis und das Abtrennen des ganzzahligen Teils.

Es folgt ein Zahlenbeispiel zur Umwandlung eines Dezimalbruchs in die Basis 5.
In positiven Dezimalzahlen < 1 können maximal vier Fünftel (ganz) enthalten sein; der Rest setzt sich aus maximal 4/25 plus maximal 4/125 usw. zusammen. Wieviele Fünftel in einem Dezimalbruch ganz enthalten sind, erhält man durch Multiplikation des Dezimalbruchs (d.h. der Nachkommastellen) mit 5.

Bei der Multiplikation des Dezimalbruchs 0,78 mit 5 erhält man 3,9. In 0,78 sind also drei Fünftel (=0,6) ganz enthalten. Schneidet man nun die 3 von 3,9 ab, so bleibt ein Rest kleiner 1, der sich wiederum aus Vielfachen von 1/5, 1/25, 1/125, 1/625 usw. zusammensetzt. Da die 3,9 jedoch bereits durch Multiplikation mit 5 entstanden ist und durch "Abschneiden" der 3 bereits die Vielfachen der 1/5 gestrichen wurden, ergibt der analoge nächste Schritt, mit dem Rest 0,9 durchgeführt, bereits die in 0,78 enthaltenen Vielfachen von 1/25, der übernächste die Vielfachen von 1/125 usw.:

0,9·5 = 4,5 --> Vier Fünfundzwanzigstel, Rest 0,5
0,5·5 = 2,5 --> Zwei Einhundertfünfundzwanzigstel, Rest 0,5
0,5·5 = 2,5 --> Zwei Sechshundertfünfundzwanzigstel, Rest 0,5
usw. --> Periode 2.

Damit ergibt sich:

               3      4      2       2        2                 —
 0,78(10)  =  ——— + ———— + ————— + ————— + —————— + ...  =  0,342(5) 
               5     25     125     625     3125

 


Version: 28. 10. 2006
©
Arndt Brünner
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