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Animation zur Keplerschen Gleichung

  

Der Winkel M nimmt proportional zur Zeit zu, d.h. der graue Planet bewegt sich gleichmäßig.

Der Winkel E ist die Lösung der Keplerschen Gleichung E = M + e·sin(E)
(E und M im Bogenmaß)

Die Position des echten Planeten ergibt sich aus der senkrechten Projektion des hellblauen Planeten auf die Ellipse.

    M = 36,0°
    E = 67,8°
    ν = 107,7°

Anzeigen:
    Ellipse
      Planet
        Winkel ν
    Kreisbahn
      virtueller Planet 1
        Winkel M
      virtueller Planet 2
        Winkel E
      Projektion

Animation
  Geschwindigkeit:

Zeitpunkt (M) num. Exz. e = 0,6

© Arndt Brünner, 2. 4. 2018
Version: 11. 4. 2018

Ein paar Anmerkungen

Die Keplersche Gleichung wird hier per Newton-Algorithmus gelöst (Nullstelle von linke minus rechte Seite der Gleichung). Das klappt meist mit dem Startwert E=M schon ziemlich gut. Bei großen e und kleinen M allerdings ist die Sache ungünstig. Daher habe ich mir eine Approximation ausgedacht, die recht gute Startwerte für den Newton-Algorithmus liefert:
E ≈ a⋅(M-π)7 + b⋅(M-π)5 + c⋅(M-π)3 + d⋅(M-π) + π
wobei
a = 0,000472158590641136⋅e3 + 0,00348510804669252⋅e2 - 0,00185701441023657⋅e + 0,000117533835234547
b = -0,0212082161267197⋅e3 - 0,0267890041728839⋅e2 + 0,0233710593614662⋅e - 0,0018568570810918
c = 0,195735977414174⋅e3 - 0,141756825562631⋅e2 + 0,0419443947831421⋅e + 0,00748305456589862
d = -0,324135520596367⋅e3 + 0,659334594044299⋅e2 - 0,904595946805445⋅e + 0,99394726482603

Besser konvergiert Newton mit dem Startwert M=E auch für solche e, die sehr nah an 1 liegen, wenn man (M+e⋅sin(E)-E)/E=0 untersucht (siehe Abb. rechts, grüne Kurve), man für M>π die Symmetrie ausnutzend 2π-M betrachtet sowie für M=0 direkt E=0 nimmt, denn dieser Term ist für alle e im Intervall ]0;π] streng monoton fallend und konvex.
In der Abb. rechts ist M+e⋅sin(E)-E orange dargestellt, (M+e⋅sin(E)-E)/E grün, M ist rot markiert, das zugehörige E als Lösung der Keplerschen Gleichung ist die Nullstelle der Kurven. Die oben erwähnte Approximation ist auf der Achse schwach blau markiert. Für M>π wird alles für M'=2π-M dargestellt.

 

Animation zum 2. Keplerschen Gesetz

  

Die Strecke vom Brennpunkt der Ellipse, in dem sich die Sonne befindet, zum Planeten auf der elliptischen Umlaufbahn überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Animation
  Geschwindigkeit:

  Intervall: 1 s

 
Num. Exzentrizität: e= 0,6