Matheseitenüberblick

Konfidenzellipse und -intervalle

Interaktive Graphik zur Konfidenzellipse. Konfidenz = Vertrauen. Es wird veranschaulicht, in welchem Intervall das wahre p mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-η liegt bei einer Stichprobenlänge von n und einer entsprechend experimentell bestimmten relativen Häufigkeit h. D.h.: P(|p - hrel| ≤ ε) ≤ 1 - η bzw. ex negativo: P(|p - hrel| ≥ ε) ≥ η.

Eine relativ grobe Abschätzung liefert die Ungleichung von Bienaymé1)-Tschebyscheff2), die für binomialverteilte Zufallsvariablen X so lautet: P(|hrel - p| ≥ ε) ≤ p q/(n ε) =: η, woraus |p - hrel| = √(p(1 - p)/(n η)) folgt3). Der Bereich, in dem diese Ungleichung gilt, ist in einer hrel-p-Graphik eine Ellipse. Diese wird auf dieser Seite interaktiv dargestellt. Man kann optional (ebenfalls interaktiv) mit den entsprechenden Binomialverteilungen bzw. ihrer Approximation durch die Normalverteilung vergleichen. Die Werte für n und η sowie für festes p oder hrel für die Berechnung des jeweiligen Vertrauensintervalls können mit den Schiebereglern festgelegt oder nach Klick auf die Werte auch manuell eingegeben werden. (So sind auch beliebige n>1000 möglich. Für n>10000 wird die Binomial- automatisch mit der Normalverteilung approximiert.)

Konfidenzintervall:

echt: |p - hrel| = √(p(1 - p)/(n η))
Näherung:   |p - hrel| = √(hrel(1 - hrel)/(n η))

mit Binomialverteilung vergleichen: Bn;p(X/n ≷ h) ≤ η

 
 
 

n = 100
 

η = 5%
 

 

Intervall anzeigen für:

hrel = 0,5
 
p = 0,5
 

  interaktiv

  auf jeweilige Achse übertragen

Gerade p=h einzeichnen

  Immer Normalverteilung statt Binomialverteilung
(sonst automatisch für n≥10000)

1) Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878): französischer Mathematiker. Er formulierte 1869 die Tschebyscheff-Ungleichung im Hinblick auf das Gesetz der großen Zahlen.
  → Wikipedia-Artikel.

2) Pafnuti Lwowitsch Tschebyscheff (Пафнутий Львович Чебьшёв, auch Tschebyschow transkribiert, 1821-1894): russischer Mathematiker. Tschebyscheff gilt zusammen mit Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski als der bedeutendste russische Mathematiker des 19. Jahrhunderts.
  → Wikipedia-Artikel.

3) siehe dazu diese →pdf-Datei.

© Arndt Brünner, 10. 10. 2020
Version: 18. 10. 2020