Legendre-Polynome 1. Art

Legendre¹⁾-Polynome 1. Art haben sehr spezielle Eigenschaften, die von berufeneren Menschen sicher besser dargestellt werden, als ich das könnte. Hier soll es um eine bestimmte Verwendung gehen, nämlich die Gauß-Quadratur.

Im linken Fenster werden Graphen von einem oder optional zwei Polynomen bis Nr. 40 gezeichnet sowie wahlweise deren Produkt, dessen Integral von -1 bis 1 stets 0 ist (sofern es sich nicht um zwei gleiche Polynome handelt).

Werden nun die Nullstellen, die stets alle reell sind sowie symmetrisch zu x=0 und im Intervall [-1;1] liegen, linear auf ein beliebiges Intervall abgebildet, über das man irgendeine Funktion f numerisch integrieren möchte, so ergibt sich eine sehr gute Näherung für das Integral, indem an diesen Stellen die Funktionswerte gewichtet über spezielle Konstanten c und wiederum angepaßt an die Breite des Intervalls summiert werden. Der Wert dieser Gewichte wird so gewählt/vorberechnet, daß diese Quadratur Polynome vom Grad 2n+1 exakt integriert.

Das kann hier m.E. sehr anschaulich studiert werden, indem die Summanden als Rechtecke über den genannten Stellen (auf das Integrationsintervall übertragene Nullstellen des Legendre-Polynoms) dargestellt werden. Die Rechtecksumme entspricht dann der — wie gesagt — sehr guten Näherung an den ersehnten exakten Wert des Integrals.

Die Funktion f kann frei gewählt werden, ebenso das Integrationsintervall (Grenzen eingeben oder per Maus ziehen). Als Beispiel wird eingangs die Funktion der Gaußschen Standardnormalverteilung angezeigt. Deren Integral von -2 bis 2 entspricht der Wahrscheinlichkeit, daß normalverteilte Zufallsvariablen innerhalb einer 2σ-Umgebung ihres Erwartungswertes liegen, nämlich p≈0,95449973610364158559.

Wie auf diesen Seiten üblich kann der Plotbereich (nur im rechten Fenster) per Maus verschoben und gezoomt werden. Links wird stets nur das für die Legendrepolynome relevante Einheitsquadrat um den Ursprung geplottet.

5. Legendrepolynom
plotten
Gaußgewichte
anwenden

4. Legendrepolynom
plotten
Gaußgewichte
anwenden

Produkt plotten

f(x)=

x₁= x₂=

¹ Adrien-Marie Legendre, 1752 (Paris) - 1833 (Paris): französischer Mathematiker. Siehe den →Wikipedia-Artikel.

Hintergrund

Für das Integrationsintervall [a;b] werden mit den Nullstellen x_i des n-ten Legendre-Polynoms die geeigneten Koeffizienten c_i (Gaußgewichte) so bestimmt, daß mit dem Term (b-a)/2·Σ(c_if((b-a)/2·x_i+(a+b)/2)) Polynomfunktionen f vom Grad 2n+1 exakt integriert werden. Dann ist der genannte Term eine gute Näherung für das Integral über jede Funktion f in den Integrationsgrenzen von a nach b.

Für das Legendre-Polynom erster Art vom Grad 5 gilt: