Lineare Abbildungen und ihre Matrizen

Matrizen und ihre Abbildungseigenschaften

Multipliziert man einen Vektor aus R³ von links mit einer 3×3-Matrix, so ist das Produkt wieder ein Vektor. Die Matrix bewirkt also eine Abbildung, und zwar sowohl von Vektoren (Richtungen mit bestimmtem Betrag) als auch von Punkten (über die Abbildung der zugehörigen Ortsvektoren). Die Abbildungseigenschaften einer Matrix können durch spezielle Rechnungen ermittelt werden. Oft fällt die Vorstellung schwer, wie sich diese Abbildung räumlich darstellt. Auf der vorliegenden Seite können nun einerseits die Abbildungseigenschaften von Matrizen berechnet werden, wobei die einzelnen Schritte vorgeführt werden. Die Matrizen können eingegeben oder erzeugt werden. Andererseits wird die zugehörige Abbildung konkret dreidimensional dargestellt. Dazu kann ein geometrisches Objekt aus der Liste gewählt, im Raum positioniert und gedreht werden. Alle Eckpunkte des Objekts werden per Multiplikation mit der Matrix abgebildet. Diverse Optionen, wie z.B. die zusätzliche Einblendung der jeweiligen Fixpunktmenge, erleichtern die Veranschaulichung. Die ganze Darstellung kann mit der Maus räumlich gedreht werden.

Abbildungsmatrix (3×3)

Abbildungsmatrix erzeugen:


⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝		⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠


⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝		⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
	→orthogonal


⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝		⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Lage

Rotation reset

z fix anim

Objekt:

Größe:

Darstellung:
Zoom:
Abbildung
verbinden
    matrixgetreu
      kompl. red.
Fixpunktm.
Menge zu λ=-1
Menge zu λ=0
(Kern der Matrix)
Eigenvektoren
    verlängert
x, y, z

Analyse:
nur Relevantes
Brüche etc.

Einige Erläuterungen

Die Rotationsansicht des Objektes ist standardmäßig stets aus negativer y-Richtung. Ist die Option "anim" gewählt, so dreht der Körper selbständig gemäß der letzten manuellen Drehung weiter. Dazu muß die Maus über dem Fensterchen losgelassen werden, sonst wird die Drehung nicht erkannt.

Fixpunktgeraden und Fixpunktebenen werden sinnvollerweise nur ausschnittsweise dargestellt (sonst wäre ihre räumliche Lage nicht zu erkennen) und zwar auf die selbe Ausdehung um den Ursprung gekappt wie die Koordinatenachsen.

Die Verbindung der Objektpunkte mit ihren Bildpunkten bildet in der Standardeinstellung – und sofern möglich – die tatsächliche Abbildung "matrixgetreu" nach. Dazu wird eine Matrix A verwendet, für die A³²=M ist. Verwendet werden kann sie natürlich erst nach ihrer erfolgreichen Berechnung. (Das kostet einigen Rechenschmalz. Und mathematischen Hirnschmalz, denn wie zieht man denn die 32. Wurzel aus einer Matrix? ;-)). Falls A nicht reellwertig ist, können bei Aktivierung der entsprechenden Option (kompl. red.) die reellen Anteile der Zwischenstufen angezeigt werden. Falls die Berechnung von A nicht gelingt, wird mit Strecken oder im Falle einer reinen Drehung mit Kreisbögen verbunden. Die auf reelle Anteile reduzierte "matrixgetreue" Abbildung ergibt nach meiner Beobachtung nur dann eine unsinnige Darstellung, wenn M singulär ist, also (mind.) einen Eigenwert 0 hat. Sie kann daher ganz abgeschaltet werden.

Die Eigenvektorpfeile werden in der Darstellung auf ein Zehntel des Darstellungsbereichs normiert. Bei aktivierter Option "Abbildung" werden auch diese Pfeile mitabgebildet. Die Bilder werden heller und dünner dargestellt. Die Wirkung der zugehörigen Eigenwerte, mit denen ja diese Vektoren bei der Abbildung lediglich skaliert werden, läßt sich daran gut erkennen. Ein Nebeneffekt ist, daß auch die (als Pyramiden dargestellten) Pfeilspitzen abgebildet werden, also u.U. nicht nur skaliert, sondern deformiert werden, wenn sie räumliche Komponenten in die Richtungen der übrigen Eigenvektoren mit Eigenwerten gehören, deren Betrag nicht 1 ist.

Die hübsche Erkennung von Brüchen, Wurzelausdrücken und Vielfachen von π geschieht numerisch. Das Programm arbeitet rein numerisch, nicht algebraisch. Erkannt werden außer reinen Brüchen (Nennergröße ist beschränkt) insbesondere Ausdrücke der Form (a±√b) und √(a±√b), wobei a und b≥0 einfache rationale Zahlen darstellen. (Siehe dazu →hier und →hier.)

© auf alle Bestandteile: Arndt Brünner
erstellt: 29. 12. 2017
Version: 28. 3. 2021
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