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Satz des Thales
Der "Pythagobaum"

 

Ein geometrischer Beweis für den Satz des Pythagoras

(Die Flächen können mit der Maus verändert werden.)

Oder: Animation

Die beiden großen Quadrate sind gleich groß. Ihre Seiten sind jeweils unterteilt in die Abschnitte a und b.

Beide großen Quadrate enthalten jeweils vier kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten a und b sowie der Hypotenuse c.

Betrachtet man nun bei beiden großen Quadraten die Fläche, die übrigbleibt, wenn man jeweils die vier Dreiecke wegschneidet, so bleiben links zwei kleinere Quadrate mit der Fläche a² bzw. b² und rechts das Quadrat mit der Fläche c² stehen. Da die vier Dreiecke links flächengleich zu denen rechts sind, muß links und rechts auch jeweils dieselbe Fläche übrigbleiben.

Es gilt somit:

a2 + b2    =    c2        

a, b und c sind die Seitenlängen aller konguenter, rechtwinkliger Dreiecke in der Zeichnung, und somit gilt für alle acht Dreiecke dieser Zusammenhang. Da man für alle denkbaren rechtwinkligen Dreiecke eine Konstruktion wie die obige zeichnen kann, gilt der Satz für alle rechtwinklige Dreiecke.

 

© Arndt Brünner, 1. März 2002
Javascript-Version: 1. 9. 2022

Geometrischer Beweis durch Scherung und Drehung

Parallelogramme bleiben flächengleich, wenn ihre parallelen Seiten bei gleichbleibendem Abstand (also konstanter Höhe) gegeneinander parallel verschoben werden. Das nennt man auch Scherung. Wenn eine Figur gedreht wird, bleibt ihre Fläche ohenhin gleich.

In der nebenstehenden Animation werden beide Kathetenquadrate durch zweimalige Scherung und eine Drehung in ihren jeweiligen Teil des Hypotenusenquadrats überführt − und wieder zurück. (Die Teilung der Hypotenuse und ihres Quadrats wird durch die verlängerte Höhe des Dreiecks bewerkstelligt.)

Hieraus folgen gleichzeitig die beiden Kathetensätze, daß nämlich b²=p·c und a²=q·c ist. Bzw. es ergibt sich von selbst, daß sich der Satz des Pythagoras aus der Kombination der beiden Kathetensätze ergibt.

 

Das Dreieck kann am Punkt C (gegenüber der Hypotenuse) und an dessen Höhenfußpunkt per Maus verändert werden − oder alternativ mit diesem Schiebregler, mit dem man die Größe des linken Hypotenusenabschnitts einstellen kann:
 

© Arndt Brünner, 2. 9. 2022