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Punkte im Dreieck
Kieperts Hyperbel und -Parabel

Simsonsche Gerade

Sei P ein Punkt auf dem Umkreis des Dreiecks ABC. Dann liegen die drei Fußpunkte seiner Lote auf die (u.U. verlängerten) Dreiecksseiten auf einer gemeinsamen Geraden, der sogenannten Simsonschen Gerade zu ihrem Pol P.

Die Bezeichnung nach dem Mathematiker Robert Simson (1687-1768), in dessen Veröffentlichungen diese Gerade nirgends auftaucht, beruht auf einer irrtümlichen Zuweisung durch Jean-Victor Poncelet (1788-1867). In Wahrheit wurde sie 1797 von William Wallace (1768-1843) entdeckt, einem schottischen Mathematiker.

Eigenschaften:

Man kann das oben Beschriebene auf dieser Seite interaktiv ausprobieren und studieren. Die Dreieckspunkte A, B und C sind mit der Maus verschiebbar, ebenso die jeweiligen Punkte auf dem Umkreis (sofern sie nicht an A,B,C gekoppelt sind). Man kann auch alles per Maus verschieben und zoomen (Mausrad).
Zudem kann man P auch automatisch-animiert den Umkreis umlaufen lassen.

Konstruktion zeigen
    Parallelen durch A,B,C
Neunpunktekreis
    H, Höhen etc.
P', diametr. gegenüber P
P, Q mit Winkel
P, R und S als Dreieck
    auf A, B und C
    diametral gegenüber
Deltoide
      Geradenschar
      Kurve
    Steiner-Kreis
      erzeugenden Kreis
Morley-Dreieck
    Winkeldrittelende
    Achsen
P animiert herumdrehen
    Tempo:

Anmerkungen

1)  Der Neunpunktekreis geht durch die drei Höhenfußpunkte, die drei Seitenmitten und die drei Mittelpunkte zwischen dem Höhenschnittpunkt und den Dreiecksecken.

2)  Die Bezeichnung Deltoid (ohne e) steht im deutschen Sprachraum für ein Flächenviereck; englisch aber ist deltoid die hier gemeinte Kurve, die durch das Abrollen eines Kreises in einem größeren Kreis mit dreifachem Umfang (und entspr. dreifachem Radius) entsteht, d.h. als Ortskurve eines Punktes auf dem Rand des kleineren, innen abrollenden Kreises. Ich verwende hier statt der mathematisch üblichen Bezeichnung Hypozykloide den griffigeren Begriff Deltoide (nach dem griechischen Buchstaben Delta: Δ), analog zur viereckigen Astroide. Die hier vorliegende Deltoide heißt auch Steiner-Hypozykloide (nach Jakob Steiner, 1796-1863, Schweizer Mathematiker). Der Steiner-Kreis (hier der feste äußere Kreis), der durch die drei Spitzen der Deltoide geht, hat den anderthalbfachen Radius des Umkreises sowie den gleichen Mittelpunkt (F) wie der Neunpunktekreis, der selbst Inkreis der Deltoide ist.
Die Simsongeraden sowie die drei Dreiecksseiten (bzw. ggf. deren Verlängerungen) sind stets Tangenten an die Deltoide. Auch die drei Höhengeraden sind tangential zur Deltoide.
Die Simsongerade geht [anscheinend (Vermutung von A.B.)] genau dann durch eine der drei Deltoidenspitzen, wenn das Lot von P auf die gegenüberliegende Dreiecksseite durch F geht und P auf der Seite des korrespondierenden Dreieckspunktes liegt. Dann schneidet die Simsongerade eine der Seiten des Morley-Dreiecks orthogonal. Dieses hat stets die gleiche Orientierung wie die Deltoide, d.h. seine drei Symmtrieachsen sind parallel zu denen der Deltoide.
Man kann sich das alles hier anschauen. Wählen Sie dazu in den Optionen am besten alles ab außer Deltoide, Kurve und erzeugenden Kreis, und aktivieren Sie die Animation. Zusätzlich den Neunpunktekreis zuschalten.

— Auf Grundlage der o.g. Beobachtungen können zu einem (innerhalb der Deltoide) verschobenen Dreieckspunkt die Positionen der beiden anderen Eckpunkte so bestimmt werden, daß die Deltoide und damit der Neunpunktekreis invariant bleiben: Deltoide fixieren, kein Ausweiten zulassen

3)  Das Morley-Dreieck wird eingeschlossen durch die Winkeldrittelenden (Wortneuschöpfung analog zu Winkelhalbierenden) des Dreiecks ABC. Das Morley-Dreieck ist immer gleichseitig!

Weitere Optionen:
Anzahl der Geraden für Deltoide:

© Arndt Brünner, 12. 10. 2024
Version: 17. 10. 2024