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Die Toeplitz-Vermutung

Anno 1911 referierte der 1881 in Breslau geborene Mathematiker Otto Toeplitz vor der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft über seine aktuellen Forschungen. Das Jahrbuch der Gesellschaft vermerkt dazu u.a.:

Der Vortragende erzählt von zwei Aufgaben der Analysis situs, zu denen er gelangt ist, und dann von der folgenden dritten, deren Lösung ihm nur für konvexe Kurven gelungen ist:
Auf jeder einfach geschlossenen stetigen Kurve in der Ebene gibt es vier Punkte, welche ein Quadrat bilden.
→ Digitalisat der Quelle, dort auf S. 197

Die Quadrate müssen dabei nicht vollständig innerhalb der von der Kurve umschlossenen Fläche liegen. Diese nach Otto Toeplitz benannte Vermutung ist bis heute nicht allgemein, aber doch für viele Spezialfälle bewiesen, u.a. wenn die Kurve stückweise aus Polynomen besteht (wie auf dieser Seite). Die Vermutung betrifft im allgemeinen nur Kurven, die sich nicht selbst überschneiden. Hingegen ist es auch allgemein für Kurven bewiesen worden, die analytisch sind, also beipielsweise — wie auf dieser Seite — Polygone oder aus ineinander glatt übergehenden kubischen Spines zusammengesetzt sind.

Auf dieser Seite kann man das interativ ausprobieren. Die Kurve kann an den blauen Stützpunkten per Maus interaktiv verändert werden. (Kurven müssen nicht glatt sein, sondern können auch Ecken haben. Hier kann man daher auch die Polygonform wählen.) Es wird automatisch nach einem Quadrat gesucht. Sollte der Algorithmus einmal keines finden, hilft ein Klick auf die Schaltfläche [Suche Quadrat]. Ein Klick auf diese Schaltfläche lohnt sich auch sonst, denn oft wird dann ein anderes Quadrat für die gleiche Kurve gefunden. Man kann ausprobieren, wann das der Fall ist. — Interessant ist auch, daß bei fließender Veränderung der Kurve die Quadratlage in einem gewissen Rahmen mitfließt, also ein Quadrat gefunden wird, das ganz in der Nähe des vorherigen liegt.

Hinweise: (1) Mit den Optionen auf Kreis und äquidist. (gleiche Abstände) können regelmäßige Polygone erzeugt werden, aber kein Kreis, da der Kreisbogen nicht durch kubische Splines darstellbar ist. Je größer die Anzahl der Stützpunkte ist, desto besser wird allerdings der Kreis angenähert. Bei Aktivierung der Option auf Kreis wird dieser direkt nach Erzeugen der Kurve angezeigt.
(2) Der unter der Kantenlänge des gefundenen Quadrats angegebene Wert für σ ist die Quadratwurzel des mittleren quadratischen Abstands der Quadratecken zur Kurve.

 

Kurvenform:
 
 

7 Stützpunkte

 

 

Erweiterung

2020 bewiesen Andrew Lobb und Joshua Evan Greene, daß zu jeder glatten Jordankurve sogar mindestens ein Rechteck mit gegebenem Seitenverhältnis gefunden werden kann, dessen Ecken auf der Kurve liegen. Man kann auch das hier ausprobieren:


Man könnte sich fragen, ob die Vermutung auch beispielsweise für (regelmäßige) Fünfecke gilt. Mein Algorithmus findet diese nur bei geeigneten Kurvenformen, die eine zumindest lokal rotationssymmetrische Struktur haben, etwa bei aktivierten Optionen auf Kreis (am besten noch äquidistant) und Stützpunktanzahl, die ein Vielfaches von 5 ist. Wenn das Programm nichts findet, folgt daraus natürlich nicht die Nichtexistenz eines solchen Fünfecks. Immerhin aber sieht man hier, daß für manche Kurven ein Fünfeck existiert bzw. zu existieren scheint, denn die Berechnung hier ist numerisch, wenn auch mit einer sehr, sehr kleinen Toleranz. Beachten Sie rechts den angegebenen Wert für σ.
Ausprobieren:

Warum nicht weitere regelmäßige Polygone?
Hier ausprobieren!


© Arndt Brünner, 2. 7. 2026
Version: 8. 7. 2026

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