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Zwei sich berührende Ellipsen

Auf dieser Seite kann interaktiv studiert werden, daß die Berührstelle sich berührender Ellipsen im Schnittpunkt der Strecken liegen, die über Kreuz die Brennpunkte verbinden. Da die Tangente jeden Brennstrahl in den jeweils anderen spiegelt, läßt die gemeinsame Tangente jeden Brennstrahl der einen Ellipse in einen Brennstrahl der anderen übergehen. Und weil für jeden Ellipsenpunkt die Summe seiner Entfernungen von den Brennpunkten gleich ist (=großer Ellipsendurchmesser), ist auch die Summe der beiden kreuzweisen Verbindungsstrecken konstant und gleich der Summe der großen Ellipsendurchmesser. Infolgedessen kann man die Anordnung gegeneinander verdrehen, sofern der erforderliche Schnittwinkel nicht größer ist als einer der maximal möglichen. (Dieser beträgt für jede Ellipse acos(1-2ε²) mit ε als deren numerische Exzentrizität).

Man kann mit der Maus alles oder einzelne Brennpunkte verschieben. Klickt man in eine der Ellipsen, so kann man sie (soweit möglich) um die andere herum drehen. Der Animationsmodus vollzieht immer jenen Fall, der wegen der oben erwähnten Bedingung rundherum möglich ist.

Animation
Tempo
 
Tangente
 
→ zentrieren

© Arndt Brünner, 2. 4. 2018

Wie üblich ein paar Anmerkungen

Wer bei der Animation genau hinschaut, wird bemerken, daß sich der Berührpunkt gleichmäßig fortbewegt, was nur approximativ zu haben ist, denn der Ellipsenbogen entzieht sich der exakten Längenberechnung.

Man kann die Sache recht leicht nachbauen, indem man eine Schnur um in die Brennpunkte gepinnte Reißzwecken legt. Die sind dort ja ohnehin schon, wenn man die beiden Ellipsen per Gärtnerkonstruktion hergestellt hat. Im Gießener Mathematikum ist nach meiner Erinnerung ein entsprechendes Exponat zum Anfassen mit zwei gleichen Ellipsen.