Von 28 Schülern einer Klasse haben vier eine 5 und einer eine 6 geschrieben. Berechne den Anteil der negativen Noten!
Es haben insgesamt fünf Schüler eine negative Note geschrieben.
Diese Menge ist der betreffende Teil (Prozentwert) vom Ganzen, d.h. von
der ganzen Klasse (28 Schüler = Grundwert). Gesucht ist daher der Prozentsatz p:
p = P/G = 5/28 = 0,178571428571428... = 17,857...%
Der Anteil der negativen Noten beträgt ca. 17,86%
Aufgrund des verminderten Luftdrucks entspricht die Atemluft in 6500 m Höhe einem Sauerstoffanteil von 10%. Dies sind 48% des wahren Sauerstoffgehalts. Wie groß ist der Anteil des Sauerstoffs in Luft?
Hier ist zu überlegen, welche der beiden Prozentangaben nun der Prozentsatz ist.
Bei den 48% ist eine direkte Zuordnung zu einer anderen Größe genannt (zu 10% nämlich)
und ein Bezug zu einem Ganzen (zum wahren Sauerstoffgehalt);
es handelt sich also bei den 48% um den Prozentsatz, beim noch unbekannten
wahren Sauerstoffgehalt um den Grundwert und bei den 10% um den Prozentwert.
Gesucht ist der Grundwert G:
G = P/p = 10%/48% = 0,1/0,48 = 0,20833... = 20,833...%
Die Luft besteht zu ca. 20,8% aus Sauerstoff.
Zum Nettopreis von 12,13
werden 16% Mehrwertsteuer aufgeschlagen.
Wie hoch ist der Aufschlag? Wie hoch ist der Bruttopreis?
Der Nettopreis ist die Grundlage zur Berechnung des Aufschlages, damit der Grundwert.
16% ist natürlich der Prozentsatz, und so muß der Prozentwert P berechnet werden mit:
P = p·G = 16%·12,13
= 0,16·12,13 = 1,9408.
Der Bruttopreis B kann nun entweder berechnet werden, indem man Nettopreis und Aufschlag
addiert: ·(1+0,16)
= 12,13·1,16 =
14,0708 ~
14,07.
Der mehrwertsteuerbedingte Aufschlag beträgt 1,94, der Bruttopreis (inklusive Mehrwertsteuer)
.
Eine Skijacke wird im Winterschlußverkauf für 50 angeboten.
Ursprünglich kostete sie 125. Um wieviel Prozent wurde der Preis heruntergesetzt?
Gefragt ist offensichtlich nach einem Prozentsatz.
Allerdings ist zu beachten, daß es sich beim gesuchten Prozentsatz um den Anteil des
ursprünglichen Preises handelt, um den heruntergesetzt wurde, und nicht um den Anteil des
heruntergesetzten Preises vom ursprünglichen.
Es wurde um P=125-50=75 ermäßigt, und somit berechnet man p mit:
p = P/G = 75/125 = 0,6 = 60%
Der Preis wurde um 60% heruntergesetzt. (Aber auf 40% des ursprünglichen Preises. Beachte den sprachlichen Unterschied!)
Ein Videorekorder kostet inklusive 16% Mehrwertsteuer 295,- Euro. Wie groß ist der Nettopreis ohne Mehrwertsteuer?
Da die Mehrwertsteuer auf den Nettopreis aufgeschlagen und von ihm ausgehend berechnet
wird, ist der Nettopreis der Grundwert und der Bruttopreis der Prozentwert.
Es handelt sich um eine prozentuale Zunahme um 16% (d.h.:
Man kann ihn nach der Formel G = P / (1 + p) direkt berechnen: G = 295/(1 + 0,16) = 295/1,16 ~ 254,31.
Der Nettopreis des Rekorders beträgt 254,31 Euro.
Herr Maier muß insgesamt 37% seines Gehalts von 3.420 an Steuern abgeben.
Wieviel ist das? Wieviel bleibt danach übrig?
37% ist der Prozentsatz, 3420 der Grundwert. Der Prozentwert ist der Betrag, den Herr
Maier an das Finanzamt abtreten muß:
P = p·G = 37%·3420 = 0,37·3420 = 1265,40.
Es bleiben ihm 3420 - 1265,40 = 2154,60. Dies kann man auch direkt mit der Formel für
die prozentuale Verminderung berechnen: ·(1-0,37) = 3420 · 0,63 = 2154,60
Herr Maier bezahlt 1265,40 Steuern und behält 2154,60.
Ein Sportverein hat aktive und passive Mitglieder. Erstere machen 32% der
Mitglieder aus. Der jährliche Mitgliedsbeitrag beträgt für Aktive einheitlich
Wieviele Mitglieder hat der Verein, und wieviele Personen entfallen auf die verschiedenen
Gruppen?
Zunächst muß berechnet werden, wie groß der prozentuale Anteil der beiden passiven
Gruppen an der Gesamtmitgliedzahl ist. Der Anteil der Passiven an der Gesamtzahl
(100%-32%=68%) ist hierbei der Grundwert(!), die Anteile 30% bzw. 70% (=100%-30%) sind die
Prozentsätze dieser Berechnung.
Förderer: 0,3·68% = 20,4%, andere: 0,7·68% = 47,6%.
(Beachte, daß es hierbei nicht notwendig ist, die 68% als Dezimalbruch 0,68 zu schreiben,
da dieser Wert in der Rechnung nicht die Rolle des Prozentsatzes spielt!)
Durch die unterschiedlichen Beiträge gehen die drei Gruppen unterschiedlich stark in die
Gesamtsumme ein. Man kann zunächst, um vergleichbare Werte zu erhalten, die jeweiligen
Beiträge mit den Prozentsätzen multiplizieren und dann berechnen, wieviel Prozent die
einzelnen Gruppen an der Summe der drei Vergleichswerte einnehmen. Diese Prozentsätze
müssen identisch mit den Anteilen an der Gesamtbeitragssumme sein.
| Anteil an 14,66 | ||
| Aktive: | 0,32·15 = 4,8 | 4,8/14,66 = 0,327421555252387... = 32,7421555252387...% |
| Förderer: | 0,204·25 = 5,1 | 5,1/14,66 = 0,347885402455662... = 34,7885402455662...% |
| Summe: 14,66 |
Nun wissen wir, welchen Anteil jede Gruppe am Gesamtbeitrag hat, und können die Einzelanteile berechnen:
| Gesamtbeiträge der Gruppen | Anzahl der Personen pro Gruppe | |
| Aktive: | 0,327421555252387...·10995 = 3600 | 3600/15 = 240 |
| Förderer: | 3825/25 = 153 | |
Es sind 240 Aktive im Verein, die zusammen 3600 Euro bezahlen, 153 Förderer (zusammen 3825 Euro) und 357 einfache passive Mitglieder (3750 Euro).
Eine Zellkolonie verdoppelt ihre Größe durch Zellteilung alle 2 Stunden. Wenn jetzt 8 Zellen existieren, wieviele sind es dann in einem Tag (24 Stunden)?
In 24 Stunden verdoppeln sich die Zellen zwölfmal. Eine Verdoppelung bedeutet, daß sich
die Anzahl um 100% vermehrt: p=100%=1. Der Grundwert ist 8, gefragt ist nach dem mehrfach
prozentual erhöhten Grundwert:
P = G·(1+p)n = 8·(1+1)12 = 8·212 = 8·4096 = 32768
Nach einem Tag sind es 32768 Zellen.
Wenn die Zellkultur unbehindert in diesem Tempo weiterwachsen könnte, wären es nach
Der Betrag von 2000 wird für 10 Jahre fest angelegt zu einem jährlichen
Zinssatz von 8% (einmalige Verzinsung am Jahresende). Wie hoch ist das Guthaben nach 10 Jahren?
Wie hoch ist das Guthaben bei halbjährlicher Verzinsung, vierteljährlicher Verzinsung?
2000 ist der Grundwert, 8% der Prozentsatz. Nach zehn Jahren beträgt das Guthaben:
P = G·(1+p)n = 2000·(1+0,08)10 = 2000·1,0810 = 2000·2,15892499727279... ~ 4317,85.
Wenn das Geld halbjährlich verzinst wird, so berechnet sich das Guthaben nach 10 Jahren so:
P = G·(1+p/2)2·10, denn es wird ja 20mal mit 4% verzinst:
P = 2000·(1+0,04)20 ~ 4382,25
Bei vierteljährlicher Verzinsung wird 40mal mit 8%/4=2% verzinst, also ist
P = 2000·(1+0,08/4)4·10 = 2000·(1,02)40 ~ 4416,08.
Nach 10 Jahren beträgt das Guthaben bei jährlicher Verzinsung 4317,85,
bei halbjährlicher Verzinsung 4382,25 und bei vierteljährlicher Verzinsung
4416,08.
Hinweis: Banken ignorieren seit 2002 bei der Berechnung der Zinsen die Centbeträge, daher entspricht diese Berechnung nicht ganz der Realität.
Pu239 hat eine Halbwertszeit von
Es handelt sich um eine mehrfache prozentuale Verminderung des Grundwertes.
In
P = 15·(1-0,5)41,4765657403567... = 4,90231...·10-12 ~ 0,0000000000049kg.
Das klingt wenig, es sind aber immerhin noch mehr als
Nach 1 Mio Jahren dürften noch etwa 4,9 Milliardstel Gramm Plutonium 239 übrig sein.