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Gleichsetzungs-/Einsetzungsverfahren
Rechner fόr lin. Gleichungssysteme
Allgemeiner Rechner zum Geradenfinden
Parabel durch drei Punkte finden

Gerade durch zwei Punkte finden

Zu zwei gegebenen Punkten soll eine Gerade gefunden werden, die durch die Punkte geht. Die Gerade wird beschrieben durch eine lineare Funktion  f(x) = mx + b. Unbekannt sind m und b dieser Funktion.

Man findet m und b, indem man die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzt. Dadurch erhδlt man ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen, mit dem man m und b ermitteln kann.

Beispiel:
geg.: A(-5|7), B(7|-8)
ges.: Funktion f(x) = mx + b durch A und B

Punkt A liegt auf f, deshalb: f(-5) = 7 = m·(-5) + b = -5m + b
Punkt B liegt auf f, deshalb: f(7) = -8 = m·7 + b = 7m + b

Das Gleichungssystem wird aufgeschrieben und gelφst:

  -5m + b = 7  
7m + b = -8
   I nach b auflφsen und in II einsetzen:
       
      I:    -5m + b = 7         | +5m
      I':   b = 5m + 7

    in II:  7m + 5m + 7 = -8    | -7
            12m = -15           | :12
            m = -1,25

    in I':  b = 5(-1,25) + 7 = 0,75

Somit ist die gesuchte Funktion: f(x) = -1,25x + 0,75

Etwas schneller geht es mit dem Additionsverfahren:

   II:      7m + b =  -8
  - I:      5m - b =  -7
           —————————————
 II+(-I):  12m     = -15
            usw.

 

Interaktive Beispiele / Rechner

Die Koordinaten der Punkte kφnnen als Bruch oder Dezimalzahl eingegeben werden. Bei periodische Kommazahlen vor der Periode ein p einfόgen (z.B.: 0,1p6 fόr 0,16666666... = 1/6).
Hinweis: Das Programm behandelt Nullen ungeschickt, so daί όberflόssige Summanden und Umformungen, wie + 0 oder -0·m, vorkommen kφnnen.

1. Punkt2. Punkt
xy  xy
     
   
Formel

Das Lφsen den Gleichungssystems fόr den allgemeinen Fall, d.h. fόr die beiden Punkte (x1|y1) und (x2|y2) fόhrt auf eine direkte Formel fόr die Geradengleichung:

   II:     x2m  + b =  y2
 -  I:     x1m  + b =  y1
 ————————————————————————————————
 II-I:   (x2-x1)m   = y2-y1     | :(x2-x1)

                y2-y1
         m  =  ——————
                x2-x1
 
 In II:  
            y2-y1
         x2·————— + b =  y2
            x2-x1

                     y2-y1
         b = y2 - x2· ———— = y2 - m·x2
                     x2-x1

                              y2-y1              y2-y1
 ===>    f(x) = y = mx + b = ——————·x + y2 - x2· ————
                              x2-x1              x2-x1

                              y2-y1      x2y1-x1y2
                         y = ——————·x + ————————
                              x2-x1        x2-x1


   oder die sogenannte Zweipunkteform der Geradengleichung:

                        y2-y     y2-y1
                       —————— = ——————
                        x2-x     x2-x1

In analoger Weise findet man Parabeln durch drei gegebene Punkte (→ siehe hier) und allgemein Polynomfunktionen vom Grad n durch n+1 gegebene Punkte. Siehe auch →hier.

© Arndt Brόnner, 8. 10. 2003
eMail: arndt.bruenner@t-online.de
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Version: 25. 11. 2006