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Die „Warp“-Geschwindigkeit

zum Warp-Rechner

Für die Science-Fiction-Serie Star Trek mußten die Raumschiffe zur „Endeckung fremder Welten, die nie ein Mensch zuvor gesehen hat“, natürlich Geschwindigkeiten erreichen können, die um ein Vielfaches über die Lichtgeschwindigkeit hinausgehen, die bis heute als die absolute Obergrenze der Bewegung von Ort zu Ort angesehen wird. Aber Zukunft ist Zukunft, und wer weiß schon, was diese bringen wird...

Immerhin ist die Serie laut Aussage eines NASA-Mitarbeiters die einzige Science-Fiction-Serie, die von vielen Wissenschaftlern gerne gesehen wird, da sie wie keine andere Wissenschaft ernst nimmt und so weit wie möglich im Rahmen der physikalischen Gesetze bleibt. Allerdings gehört der Warp-Antrieb wirklich nicht zu dem heute Vorstellbaren. Hier ein Artikel The Science of Star Trek von David Allen Batchelor, NASA Goddard Space Flight Center.

Lange bevor Mr Cochrane den Warp-Antrieb erfinden wird, mit dem der Raum derart verzerrt werden kann, so daß von außen gesehen die physikalischen Gesetze des normalen Raumes nicht mehr gelten (to warp = verzerren), erfanden die wissenschaftlichen Spezialisten um Gene Roddenberry eine Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit (v/c: Vielfache der Lichtgeschwindigkeit) aus dem Warp-Faktor (wf): v / c = wf ^(10/3). Innerhalb der durch die „warp-Spule“ geschaffenen „Subraumblase“ bleibt die Lichtgeschwindigkeit c allerdings konstant: c = 2,9979 · 108 m/s. Die Subraumblase ist asymmetrisch; und durch die Entzerrung des Raumes hinter dem Schiff entsteht ein Vortrieb, der für einen externen Beobachter eine Überlichtgeschwindigkeit zuläßt.

Zur Serie „The Next Generation“ (TNG) wurde der Warp-Faktor neu definiert, wobei durch die technischen Berater der Serie (Rick Sternbach und Michael Okuda) leider keine exakte Formel mehr angegeben wurde, sondern einige Eckdaten in einer Referenztabelle von warp-Faktor- und zugeordneten Lichtgeschwindigkeitsvielfachen (siehe unten).

Menschen, die sich wohl schon heute auf die Aufnahmeprüfung der Sternenflotten-Akademie vorbereiten, haben sich eine Formel ausgedacht, mit der der Warpfaktor berechnet werden kann. Die Formel approximiert die Referenzwerte relativ gut und eignet sich prima zum Üben der Berechnung von (Funktions-)Termen der etwas komplizierteren Sorte:

oder in einzeiliger Schreibweise:

     f(x) = x ^((10/3) / (1 - (x/10)^(( 91,28 / (10-x)^0,27))))

Der für f(x) errechnete Wert (x = „Warp-Faktor“) ist die Geschwindigkeit in „Chocrane“ (benannt nach dem zukünftigen Entdecker des Warp-Antriebs Zefram Cochrane, siehe Film First Contact, dort erster Flug mit Warpgeschwindigkeit am Do., 5. April 2063 !), d.h. in Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit.


Hier ist nun der vorhin angekündigte ...


Warp-Rechner

Der Rechner rechnet mit der o.g. Formel oder mit einer exponentiellen Interpolationsformel, deren Exponenten über kubische Interpolationspolynome für die Referenzwerte aus dem Tech Manual zur Serie (The Next Generation) gefunden wurden (siehe unten). Hierbei kann optional der korrigierte Wert für warp 9,99 (siehe unten, Referenztabelle) berücksichtigt werden.
Ab Warp 9,9 gibt es für die Exponentenfunktion φ(w) in der Berechnungsformel c = wφ(w) eine von Markus Göpfert gefundene einfache explizite Darstellung (s.u.).

Formel:

Man gebe irgendwo eine Zahl ein und drücke den Button; der Rest wird (bei sinnvoller Eingabe) automatisch berechnet.

v [Warp-Faktor]               Geschwindigkeits-Maß ( 1 wf < 10 )
v [Cochrane] Geschwindigkeit als Vielfaches der Lichtgeschwindigkeit
v [km / s] Geschwindigkeit in Kilometern pro Sekunde
v [LJ / h] Geschwindigkeit in Lichtjahren pro Stunde
t / s benötigte Zeit (in ) für s= Lichtjahr(e)
 

 

 

„Offizielle“ Referenztabelle

Die Genauigkeit der Formeln kann mittels der offiziellen Tabelle überprüft werden.

WarpVielfache der
 Lichtgeschwindigkeit 
11
210
339
4102
5214
6392
7656
81024
91516
9,21649
9,61909
9,93053
9,99791272912 *)
9,9999199516
10(unendlich)

*) Der Wert 7912 findet sich in den allermeisten Quellen. Er kam mir angesichts des exponentiellen Wachstums eigentlich zu klein vor. Auf http://www.ussbelgica.be/engineering/warp_formulae.php fand ich den Wert 72912, der möglicherweise stimmen könnte. Das originale Tech Manual zur TNG-Serie liegt mir nicht vor. Vielleicht kann mir mal jemand schreiben, der es besitzt, was der korrekte Wert ist. Beim Finden der Koeffizienten für die stückweise definierten Funktionen (alternativer Interpolationsmodus, der die Referenzwerte tatsächlich alle trifft) stellte sich allerdings heraus, daß der kleinere Wert sinnvoller zu sein scheint.
Nun habe ich das Manual antiquarisch bestellt. Ich bin gespannt, was da zu lesen ist. Sobald ich es weiß, werde ich es an dieser Stelle natürlich vermerken.
Es ist da, das Manual; aber der kritische Bereich ist dort leider nicht aufgeführt. Man findet eine Tabelle der Werte bis warp 9. Laut http://hem.bredband.net/locutus/faq_wa12.html stehen die Werte oberhalb von warp 9 in der Star Trek Encyclodædia, die ich mir nun auch antiquarisch geordert habe. Witzig: Man bekommt Enzyklopädien „aus dem“ (eher über das) 24. Jahrhundert bereits antiquarisch. Immerhin ist im Manual zu lesen, daß Mike (=Michael Okuda) zur Berechnung der Geschwindigkeiten etc. ein EXCEL-Sheet verwendete, man aber die Kurve (warpcochrane) neu „gezeichnet“ habe, um die zwischen 9 und 10 ins Unendliche wachsenden Exponenten zu gewinnen. „Our solution was to redraw the warp curve so that the exponent of the warp factor encreases gradually, then sharply as you approach Warp 10.“ Da die Exponenten für die Referenzwerte verdächtig rational sind bzw. man mit sehr einfachen Exponenten und ganzzahliger Rundung sehr genau die Referenzwerte trifft, halte ich es für relativ unwahrscheinlich, daß sie aus einer exponentiellen Formel gewonnen wurden, denn dann müßten die Exponenten selbst ja eher transzendente Zahlen sein:
9,010/3 = 1516,38110700484... 1516
9,23,3381 = 1648,99806665479... 1649
9,63,34 = 1908,91204518861... 1909
9,93,5 = 3052,97452971195... 3053
9,993,9 = 7912,34843690778... 7912
9,99995,3 = 199515,656833976... 199516
Wahrscheinlich ist also mein Ansatz, die Exponenten zwischen den Referenzwerten mit geeigneten kubischen Splines zu interpolieren (siehe unten und Rechner), gar nicht so abwegig. Die durch kubische Splines gewonnenen Kurven reproduzieren frei-graphisch gewonnene Kurven meist recht gut.
Hurra, heute kam die Encyclopedia an; und die „richtige” Zuordnung für den Warp-Faktor 9,99 ist tatsächlich der kleinere Wert, also 7912fache Lichtgeschwindigkeit.

Saturn

 

Interpolationsformel (Brünner) Warp → Cochrane für 9<w9,9999:

f(w) = exp(exp(exp(a·(w-w0)3+b·(w-w0)2+c·(w-w0)+d)))

;
Bereich für ww0abcd
9,0 - 9,20-0,0187347029720,503461430242-4,47996123406213,885577794472
9,2 - 9,600,019672187194-0,5565687383345,27231631684-16,021406694961
9,6 - 9,900,775424977293-22,322249093192214,222847723478-684,663107196201
9,9 - 9,999,934,3943500800660,7078727324130,2405217517680,733531685
9,99 - 9,99999,99121717,362045318579,9943472540311,2037215505480,785985893

An den Übergängen haben die Funktionen gleiche Funktionswerte, gleiche Steigungen und gleiche Krümmungen. Die Referenzwerte werden exakt interpoliert mit f(9,99)=7912.

 

Markus Göpfert alias Mark McWire (→Homepage) teilte mir am 31. 12. 2006 seine Entdeckung mit, daß sich die oben erwähnten Exponenten ab Warp 9,9 mit dem Term (lg(10-w)2-lg(10-w))/10 + 3,3 berechnen lassen, wobei lg für den dekadischen Logarithmus steht und w für die Warp-Geschwindigkeit. Dieser Term erfüllt außerdem die Bedingung, daß er für x→10 gegen unendlich geht. Mit freundlicher Erlaubnis von Markus Göpfert habe ich das nun in den Rechner implementiert und als Standard für den Bereich v>9,9warp definiert, d.h. c = w(lg(10-w)2-lg(10-w))/10+3,3 für 9,9<w<10.

Natürlich ist es – diese kluge Idee aufgreifend – auch möglich, jeweils drei Referenzwerte durch eine Funktion f(w)=wφ(w) mit φ(w) = a·lg(10-w)2 + b·lg(10-w) + c oder φ(w) = a·ln(10-w)2 + b·ln(10-w) + c  genau zu interpolieren. Leider ergeben sich im Intervall [9 ; 9,9] keine rationalen Koeffizienten; aber insgesamt scheint mir diese abschnittsweise definierte Funktion für die Geschwindigkeit in Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit, abhängig vom Warpfaktor w, im Moment die beste Berechnungsformel zu bieten:

f(x) = wφ(w)       mit  φ(w) =



10/3 für   1 w 9
-0,11070843890016997·lg(10-x)2 - 0,06109573677020381·lg(10-x) + 3,33321893526299
oder linear: (143x + 18713)/6000
 für   9 w 9,2 linear logarithmisch
0,28728320316656963·lg(10-x)2 + 0,13585043593501714·lg(10-x) + 3,348567232768447 für   9,2 w 9,9
0,1·lg(10-x)² - 0,1·lg(10-x) + 3,3 für   9,9 w < 10

© Arndt Brünner — Version: 2. 1. 2007