Muster im Pascalschen Dreieck

 
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Im Pascalschen Dreieck (↑ Blaise Pascal) ist jede Zahl die Summe der beiden Zahlen, die links und rechts oberhalb von ihr stehen. Oben geht es mit einer 1 los; und so entsteht die Zahlenfolge, die man links sieht. Nach unten könnte es prinzipiell unendlich weitergehen. Hier kann man schauen, welche Zahl an einer bestimmten Stelle steht:

ReiheNr.Zahl

 

Das Pascalsche Dreieck birgt viele überraschende Geheimnisse!

Die Symmetrie im Dreieck fällt sofort ins Auge. Die linke Seite und die rechte Seite sind gleich, das heißt, in jeder Zeile geht es genauso "aufwärts" wie wieder "abwärts".

Etwas geheimnisvoller sind die Zahlenreihen (besser: Zahlenfolgen), die schräg, parallel zum Rand verlaufen. In der äußeren stehen nur Einsen. In der zweiten befinden sich von oben nach unten der Reihe nach alle natürlichen Zahlen. Gibt es auch Regeln für die übrigen Reihen? Ja, es gibt sie! In der dritten (von links oder rechts gesehen) stehen zum Beispiel folgende Zahlen: 1-3-6-10-15-21-28-... Wie geht es weiter?

Ein weiteres, viel versteckteres Geheimnis tritt zutage, wenn man einmal alle geraden Zahlen (2, 4, 6, 8 usw.) markiert. Im Bild oben links sind die geraden Zahlen rot dargestellt. Dabei wird in dem Dreieck ein auf dem Kopf stehendes kleineres Dreiecke sichtbar, das sozusagen eingerahmt wird von einzelnen roten Zahlen.

Wenn man das Dreieck erweitert, entsteht ein eindrucksvolles Muster mit immer größeren Dreiecken. Das kann man im Fenster unten links sehen! Ob wohl alle möglichen Dreiecksgrößen vorkommen oder nur bestimmte Größen nach einer bestimmten Regel? Sicher findest Du selbst eine Antwort darauf!

Gerade Zahlen lassen sich ja glatt durch 2 teilen. Entstehen denn vielleicht auch Muster, wenn man im Dreieck diejenigen Zahlen markiert, die durch andere Zahlen, wie z.B. die 3, teilbar sind? Man kann das mit jeder Zahl versuchen, und tatsächlich entstehen für jede Zahl eigene besondere Muster!

Wer will, kann sich ja ein Pascalsches Dreieck aufschreiben und jeweils die Vielfachen seiner Lieblingszahl einkreisen. Man kann es auch hier in den Fenstern unten ausprobieren: Im linken Fenster erscheint eine Darstellung des Pascalschen Dreiecks ohne Zahlen, in dem aber für die Zahlen nur kleine Zeichen gesetzt werden: Alle Vielfachen der angegebenen Zahl werden dabei durch ein fetteres Symbol dargestellt. Man kann die gewünschte Zahl eingeben und dann auf die Schaltfläche [Zahlen markieren] klicken oder einfach mit den Pfeiltasten "weiterschalten".

Im rechten Fenster kann man dazu im Vergleich die Muster betrachten, die für diejenigen Zahlen entstehen, die wiederum Teiler der linken Zahl sind. Mit den Pfeiltasten kann man jeweils zum nächstgrößeren oder nächstkleineren Teiler weiterschalten. Wenn die linke Zahl eine Primzahl ist, bleibt das rechte Fenster leer, weil die Primzahl ja keine anderen Teiler hat außer ihr selbst und der 1. Aber genau bei den Primzahlen fällt etwas auf!


 die durch  teilbar sind!


Teiler:     nur Primteiler


© Arndt Brünner, 5. April 2002
Version: 30. 6. 2002
 

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