Die "Russische Bauernmultiplikation"

Schon die alten Ägypter verwendeten ein Verfahren, um zwei Zahlen zu multiplizieren, das vom heute üblichen abweicht und kaum bekannt ist. Es war jedoch auch hierzulande im Mittelalter sehr gebräuchlich und bis weit in die Neuzeit hinein in Rußland. Daher kommt die sonderbare Bezeichnung.

Ein großer Vorteil des Verfahrens besteht darin, daß man das kleine Einmaleins nicht beherrschen muß: Alles, was man können muß, ist Halbieren, Verdoppeln und Addieren!

Im rechten Teil dieser Seite kann man das Verfahren ausprobieren und dabei sehen, wie man es macht.

Wie geht man vor?

Man schreibt die beiden Faktoren nebeneinander. Unter die linke Zahl schreibt man deren Hälfte als ganze Zahl, wobei man bei ungeraden Zahlen einfach den Rest wegläßt, also ist die ganzzahlige Hälfte von 7 die 3. Das wiederholt man, bis man die 1 erreicht hat.

Die rechte Zahl wird genausooft verdoppelt.

Jetzt schaut man, welche Zahlen links gerade sind, und streicht in diesen Zeilen die rechte Zahl durch.

Zuletzt müssen die Zahlen rechts addiert werden, die nicht gestrichen sind.

Warum funktioniert das?

Das Verfahren beruht auf der Darstellung des ersten Faktors im Binärsystem (Dualsystem, Zweiersystem).

Klicke hier, um das in der folgenden Erklärung verwendete Beispiel rechts anzuzeigen. Die Erklärung ist dann etwas leichter nachzuvollziehen.

Wenn man bei der Aufgabe 43·627 den ersten Faktor als Binärzahl schreibt, so ergibt das 101011₍₂₎·627, denn 101011₍₂₎ = 32+8+2+1 = 43

Man kann somit 43·627 auch (32+8+2+1)·627 schreiben, was ausmultipliziert und nacheinander berechnet folgendes ergibt:

 (32     + 8     + 2     + 1   )·627 
= 32·627 + 8·627 + 2·627 + 627
=  20064 +  5016 +  1254   627
=  26961

Die benötigten Vielfachen von 627 ergeben sich alle durch Verdoppeln, denn 2·627 ist das Doppelte von 627 (haha...), 8·627 ist das Doppelte von 4·627, was seinerseits das Doppelte von 2·627 ist, usw.

Das gesuchte Produkt ist also die Summe aus bestimmten Zahlen aus dieser Reihe von Verdoppelungen, und zwar genau von denjenigen, bei denen die zugehörige Binärstelle eine 1 ist.

Jetzt müßte man nur noch wissen, wie man am leichtesten zu der Binärzahl kommt; und zwar am besten so, daß man gleich weiß, welche Zahlen man aus der Reihe der "Verdoppelungen" nun addieren muß und welche nicht.

Jede Stelle der Binärzahl steht ja für eine "Zweierpotenz". Das sind sozusagen die Zahlen aus der Reihe der Verdoppelungen von 1, also 1, 2, 4, 8, 16, 32 usw. Die erste Ziffer von rechts ist auch im Binärsystem die Einerstelle. Alle anderen Stellen stehen für gerade Zahlen.

Das heißt, wenn man eine ungerade Zahl ins Binärsystem umwandelt, dann muß auf der Einerstelle zwangsläufig eine 1 stehen. Wenn man eine gerade Zahl umwandelt, dann steht dort logischerweise eine 0.

Jetzt wandeln wir mal die 43 aus dem Beispiel um: Da die Zahl ungerade ist, steht auf der Einerstelle also eine 1. Ok, die Einerstelle haben wir, und von der 43 bleibt jetzt nur noch 42 übrig.

Nun ist die Zahl gerade. Der Trick besteht jetzt darin, diese Zahl zu halbieren. Wenn man das macht, dann muß man auch die entsprechenden verbleibenden Stellenzahlen des Binärsystems 2, 4, 8, 16, 32, ... halbieren: 1, 2, 4, 8, 16, ...

Huch! Das sind ja wieder die selben Zahlen wie am Anfang!

Weil das so ist, kann man genauso weitermachen: Die nächste Stelle der Binärzahl ist genau dann eine 1, wenn die vorhin ausgerechnete Hälfte, in unserem Beispiel die 21, ungerade ist. Wenn sie es ist, ziehen wir eins ab und machen weiter.

21-1=20. Die Hälfte von 20 ist 10, was gerade ist. Damit ist die nächste Ziffer in der Binärzahl eine 0.

Die Hälfte von 10 ist 5, was ungerade ist. Damit ist die nächste Ziffer in der Binärzahl eine 1.

5-1=4. Die Hälfte von 4 ist 2, was gerade ist. Damit ist die nächste Ziffer in der Binärzahl eine 0.

Die Hälfte von 4 ist 2, was gerade ist. Damit ist die nächste Ziffer in der Binärzahl eine 0.

Die Hälfte von 2 ist 1, was ungerade ist. Damit ist die nächste Ziffer in der Binärzahl eine 1.

1-1=0, fertig.

Wir bekommen also immer eine 1 in der Binärzahl, wenn die jeweilige Hälfte der Dezimalzahl ungerade ist. Und weil wir genau die Zahlen aus der Reihe der Verdoppelungen des zweiten Faktors addieren müssen, bei denen in der zugehörigen Binärdarstellung des linken Faktors eine 1 ist, müssen wir nur den linken Faktor immer halbieren und addieren nur die Zahlen aus der Verdopplungsreihe, bei denen die Zahlen aus der Halbierungsreihe ungerade sind.