Verallgemeinerungen zu Droz-Farny

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Verallgemeinerungen zu Droz-Farny

Zum Satz von Droz-Farny bzw. dessen Veranschaulichung, siehe →hier.

1. René Goormaghtigh

Folgende Verallgemeinerung des Droz-Farny-Satzes zu einer speziellen Gerade im Dreieck (siehe →hier) wurde 1930 von René Goormaghtigh formuliert und bewiesen. ABC sei ein Dreieck, P irgendein Punkt, der nicht mit A, B oder C identisch ist, und g irgend eine Gerade durch P. A', B' und C' seien Punkte auf den Seiten a, b bzw. c mit der Eigenschaft, daß die Geraden PA' und PA durch Spiegelung an g auseinander hervorgehen. Analog PB' und PB sowie PC' und PC. Dann sind A', B' und C' kollinear.

Tatsächlich ist der Satz von Droz-Farny ein Spezialfall. Die Kreise um A', B' und C' jeweils durch H können als Thaleskreise zur Basis der Kantengeraden a, b und c verstanden werden. Dann bilden die beiden Schnitte der Kreise mit den Kantengeraden und H jeweils rechtwinklige Dreiecke. Umgekehrt sind dann A', B' und C' die Mittelpunkte der Schnitte der orthogonalen Katheten mit den Kantengeraden. Der Satz von Droz-Farny besagt, daß diese kollinear sind.

Die Ecken des Dreiecks und P lassen sich mit der Maus verschieben, die lila Gerade (g) läßt sich drehen. Die Drehung kann automatisch animiert werden. Für den o.g. Spezialfall kann P auf den Höhenschnittpunkt H gelegt werden, dann ist er natürlich nicht mehr manuell verschiebbar.

Graphik für Goormaghtigh

Animation
Tempo:

P auf H
Höhen
Kreise durch H
Orthogonale

Graphik für Dao Thanh Oai, Nr. 1
(Erläuterung unten)
Animation (von D)
Tempo:

Graphik für Dao Thanh Oai, Nr. 2
(Erläuterung unten)
Animation (von D)
Tempo:

2. Dao Thanh Oai

1. Verallgemeinerung:
ABC sei ein Dreieck, P irgendein weiterer Punkt. A', B' und C' seien nun so gewählt, daß die Strecken AA', BB' und CC' parallel und die Mittelpunkte sowie P kollinear sind. Dann sind die Schnittpunkte der Geraden PA', PB' und PC' mit den jeweils korrespondierenden Kantengeraden a, b und c kollinear.

2. Verallgemeinerung:
ABC seien Punkte auf irgendeinem Kegelschnitt, P irgendein weiterer Punkt, der nicht auf dem Kegelschnitt liegt.
Die Geraden AP, BP und CP schneiden den Kegelschnitt ein weiteres Mal in A', B' und C'.
D sei ein Punkt auf der Polare zu P bezüglich des Kegelschnitts.
Dann sind die Schnittpunkte der Geraden DA', DB' und DC' mit den korrespondierenden Kantengeraden BC, CA und AB kollinear.

In der Veranschaulichung lassen sich A, B, C, P und D auf der Polaren mit der Maus verschieben. Der Kegelschnitt ist durch die fünf Punkte A, B, C sowie K₁ und K₂ definiert. Die beiden Hilfspunkte K_i können ebenfalls mit der Maus verschoben werden, wodurch man den Kegelschnitt beliebig formen kann.