Droz-Farny

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Beweis des Droz-Farny-Theorems
Droz-Farny-Verallgemeinerungen
Simsonsche Gerade
Kieperts Hyperbel und -Parabel
Besondere Punkte etc. im Dreieck

Droz-Farny-Gerade

Zwei zueinander orthogonale Geraden durch den Höhenschnittpunkt H eines beliebigen Dreiecks schneiden jede der drei Kantengeraden, sofern sie nicht parallel sind. Die Mittelpunkte der zwei Schnitte auf jeder Kantengerade liegen auf einer gemeinsamen Gerade, der Droz-Farny-Gerade (nach Arnold Droz-Farny, 1856−1912, 1899; ein Beweis mit interaktiver Veranschalichung findet sich →hier).
Dies gilt nicht nur für die Halbierung, sondern für jede Teilung.

Für jedes Dreieck und jedes Orthogonalenpaar gibt es eine Parabel, zu der sowohl alle Droz-Farny-Geraden (also für jede Teilung) als auch das Orthogonalenpaar und auch die drei Kantengeraden tangential verlaufen. (Ehrmann und van Lamoen, 2004). Wie bei der Kiepert-Parabel, mit der sie im allgemeinen nicht identisch ist, liegt der Brennpunkt dieser Parabel anscheinend immer auf dem Umkreis. Die Leitlinie geht immer durch H, was unmittelbar daraus folgt, daß orthogonale Tangentenpaare von Parabeln sich immer in deren Leitlinie schneiden. Da H also in jedem Fall auf der Leitlinie der Parabel liegt, gibt es immer ein Orthogonalenpaar, das auch tangentiell zur Kiepert-Parabel ist, und somit auch einen Fall, bei dem die Drow-Farny-Parabel mit der Kiepert-Parabel identisch ist. Das vorliegende Script bietet die Option, dieses Paar automatisch zu finden und einzustellen. Die drei Kreise um die kollinearen Schnittpunkte gehen alle durch H (→Thaleskreis), und sie schneiden sich außerdem alle im Brennpunkt der Droz-Farny-Parabel. — Die Brennpunkt-Umkreis-Eigenschaft ist mir nicht unmittelbar einsichtig. Wer dafür eine Beweisidee oder einen Beweis hat, möge es mir mitteilen.

Zum Ausprobieren können die Eckpunkte des Dreiecks per Maus verschoben werden und das Orthogonalenpaar gedreht. Letzteres kann automatisch animiert werden. Verschieben der kompletten Graphik (per Maus) und Zoomen (per Mausrad) sind ebenfalls möglich.

Animation
Tempo:

Höhen
Teilung:
Mitte
Kreise
Parabel
alternativer Algorithmus
gefüllt
Brennpunkt
Scheitelpunkt
Leitlinie
Umkreis
Euler-Gerade
Kiepert-Parabel
Parabeln identisch
Yff-Parabel
Parabeln identisch

Droz-Farny-Kreise

− bezüglich der Geraden durch je zwei Seitenmitten (Kantengeraden des Mittendreiecks).

Kreise um den Höhenschnittpunkt H schneiden ab einem gewissen Minimalradius die Kantengeraden des Mittendreiecks, das die drei Seitenmitten des großen Dreiecks bilden). Alle diese Schnitte haben dabei vom korrespondierenden Eckpunkt identischen Abstand.

Man kann zum Ausprobieren das Dreieck sowie die Kreisradien (per Ziehen am Kreisbogen) verändern.

Höhen
Umkreis
U als Schnitt der grünen Kreise

R automatisch

− Betrachte die drei Kreise um die Höhenfußpunkte durch U oder die drei Kreise um die Seitenmitten durch H. Deren Schnittpunkte mit den jeweiligen Kantengeraden liegen auf einem gemeinsamen Kreis um H bzw. um U.

Höhen
Umkreis
um HF_i durch U
um M_i durch H

Verallgemeinerungen

Zu den Verallgemeinerungen durch René Goormaghtigh (1930) und Dao Thanh Oai (2013/15) siehe →hier