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Rechner für Ellipsen

Dieses Programm berechnet die fehlenden Größen einer achsensymmetrischen Ellipse aufgrund zweier gegebener Größen. Formeln und Gleichungen siehe unten und im Ausgabefeld „Rechenweg, Bemerkungen“ rechts im Formular.

gegeben  berechnet
a
b
c
d
e
p
A
u
   
 
    Dezimalstellen           Test
 
Rechenweg, Bemerkungen:

 
Tangenten an die Ellipse durch P(x0|y0) Tangentengleichungen und Berührpunkte
x0       
y0
 

Bezeichungen

a,b: große und kleine Halbachse (a ≥ b)
c: lineare Exzentrizität, Abstand der Brennpunkte (F1 und F2) vom Mittelpunkt
d: Abstand der Leitlinien (siehe unten) zur kleinen Achse
e: numerische Exzentrizität (siehe unten)
p: sog. Parameter; Höhe an den Brennpunkten
A: Flächeninhalt
u: Umfang

Ellipse durch 2, 4 oder 5 Punkte

Geben Sie zwei, vier oder 5 Punktkoordinatenpaare ein; die zugehörige Ellipse wird berechnet. Bei Eingabe zweier Punkte wird davon ausgegangen, daß die Hauptachsen der Ellipse mit den Koordinatenachsen zusammenfallen; bei Eingabe dreier Punkte, daß die Hauptachsen parallel zu den Koordinatenachsen liegen.

xy
P1
P2     Testwerte
P3
P4 zeichnen
P5      
 

 
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Tangenten an die Ellipse durch P(x0|y0)    Tangentengleichungen und Berührpunkte
x0      
y0
Koordinaten aus Mauspunkt
 
Normalen approximieren
komplette Kardioide zeigen

 
Formeln und Zusammenhänge

Die numerische Exzentrizität

Die numerische Exzentrizität e beschreibt die „Form“ der Ellipse (allgemein der Kegelschnitte) in Abweichung von der Kreisform. e=0: Kreis, e=1 wäre die Parabel, also eine soeben „auseinandergerissene“ Ellipse.

e = a² - b² /a = c/a
0 ≤ e < 1

Brennpunkte

Jeder Punkt der Ellipse hat eine identische Abstandssumme zu den Brennpunkten (=2a).
Diese Abstände berechnen sich für jede Stelle x mit a ± e·x.
Für den Abstand der Brennpunkte zum Mittelpunkt, d.h. die lineare Exzentrizität c, gelten:

c = a² - b²  = a·e
c ≥ 0

ParameterDer Parameter p beschreibt bei allen Kegelschnitten die halbe Öffnung orthogonal zur Symmetrieachse an den Brennpunkten.

p = b²/a
p > 0

LeitlinieLeitlinien sind Parallelen im Abstand d zur kleinen Achse mit der Eigenschaft, daß jeder Punkt der Ellipse ein konstantes Verhältnis (=e) der Abstände zur Leitlinie und zum entsprechenden (auf der selben Seite der kleinen Achse liegenden) Brennpunkt besitzt.

d = a/e
0 < a < d

FlächeninhaltA = π·a·b
UmfangFür den Umfang der Ellipse gibt es keine elementare Formel. Er ist der doppelte Wert des Kurvenintegrals der Ellipsenfunktion f(x) = b·1-x²/a²  bzw. des vollständigen elliptischen Integrals zweiter Gattung, nämlich
Der Wert kann allerdings mit Reihenentwicklungen approximiert werden, z.B.:
u = 2·π·a·(1 - (1/2)2·e2 - ((1·3)/(2·4))2·e4/3 - ((1·3·5)/(2·4·6))2·e6/5 - ...).
Wenn u und e bekannt sind, kann a=u/v(1,√(1-e²)) berechnet werden, wobei v(a,b) die Reihenentwicklung für den Umfang der Ellipse mit den Halbachsen a und b darstellt. Bei allen anderen Paarungen (gegeben sind u und eine andere Größe) wird eine geeignete dritte Größe mit geeigneten Suchverfahren approximiert. Erste Näherungen gehen dabei aus der Anwendung der Näherungsformeln u ≈ π·(1,5(a+b) - ab) oder u ≈ π·(a+b)(64-3h²)/(64-16h) mit h=((a-b)/(a+b))² hervor.

Hinweis

Wenn es mehrere Lösungen gibt (bei gegebenem d sind oft Gleichungen dritten Grades zu lösen, z.B.: p=d·e(1-e²) oder e²=1-(A/(πd²e²))², so wird hier automatisch die mit dem kleinsten positiven e bzw. dem kleinsten positiven a ausgewählt; eine eventuelle weitere positive Lösung wird im Berechnungsprotokoll angezeigt.

 
Zur interaktiven Graphik

Zusätzlich zur Ellipse werden die beiden Brennpunkte, die beiden Hauptachsen und Leitlinien sowie die eingegebenen Punkte, außerdem die zugehörigen Tangenten und wahlweise Normalen an die Ellipse vom beliebig wählbaren Punkt aus angezeigt, schließlich auch die Kardioide der Ellipse. Hierbei handelt es sich um diejenige Kurve, auf der alle Krümmungskreismittelpunkte der Ellipse liegen. (Daraus folgt, daß sie auch die Evolvente der Ellipse ist, weil alle Normalen Tangenten an die Kardioide sind.) Von allen Punkten innerhalb der Kardioide existieren vier Normalen an die Ellipse (=Tangenten der Kardioiden), sonst zwei.

Wenn man in die Graphik klickt, werden von den Koordinaten des Mauszeigers interaktiv Tangenten und Normalen an die Ellipse gezeichnet, sofern sie existieren und die entsprechende Option bezüglich der Normalen aktiviert ist. Die oben erwähnten Eigenschaften der Normalen kann man sich damit eindrucksvoll veranschaulichen. Erneuter Mausklick deaktiviert diese Interaktivität. Man beachte, mit welcher Geschwindigkeit das Script die (nicht gerade triviale) Aufgabe löst, diese Normalen zu berechnen.

Diese interaktive Graphik ist übrigens das Resultat meiner ersten Beschäftigung mit der html-5-Errungenschaft "canvas", einer Möglichkeit, direkt in html ohne Flash oder Java oder sonstige "Plugins" Graphiken per javascript zu erzeugen. Wie man sehen kann, ist das Resultat schön und schnell, was erfreulich ist, da das Verwenden bzw. Neuschreiben von Java-Applets für mich nicht mehr in Frage kommt.

 

© Arndt Brünner, 10. 4. 2007   •  Version: 20. 7. 2017
 
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