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Beweis zum Satz von Droz-Farny

Gegeben sei ein Punkt P im kartesischen Koordinatensystem und eine Gerade g, die Mittelsenkrechte der Strecke OM ist (O: Ursprung). Diese Mittelsenkrechte habe die Gleichung g: y = mx + b.

Auf dieser Gerade liegen drei Punkte M₁(x₁|mx₁+b), M₂(x₂|mx₂+b) und M₃(x₃|mx₃+b).

Diese seien jeweils Mittelpunkte von Kreisen durch den Ursprung und P.
Diese Kreise schneiden die Koordinatenachsen jeweils in einem weiteren Punktepaar, nämlich (0|2(mx_i+b)) und (2x_i|0), durch das jeweils eine Gerade verlaufe: y = -(mx_i+b)/x_i·x + 2(mx_i+b).

Diese drei Geraden schließen ein Dreieck ABC ein, auf dessen Umkreis interessanterweise auch P liegt (siehe dazu unten). Die Schnittpunkte (A, B und C) haben die Koordinaten (-2mx_ix_j/b | 2(mx_i+b)(mx_j+b)/b).

Die Höhengeraden sind Lotgeraden von den Schnittpunkten auf die jeweils gegenüberliegende Kantengerade, haben also beispielsweise die zur Kantengerade orthogonale Steigung x_k/(mx_k+b). Ihre Gleichungen sind y = x_k/(mx_k+b)x + (2(mx_i+b)(mx_j+b))/b+(2mx_ix_jx_k)/(b(mx_k+b)).
Sie schneiden sich in H ( 2m(b³+b²mx₁+b²mx₂+bm²x₁x₂+b²mx₃+bm²x₁x₃+bm²x₂x₃+mx₁x₂x₃+m³x₁x₂x₃)/b² | 2(b³+b²mx₁+b²mx₂+bm²x₁x₂+b²mx₃+bm²x₁x₃+bm²x₂x₃+mx₁x₂x₃+m³x₁x₂x₃)/b² )

Die Höhenschnittpunkte dieser so generierten Dreiecke ABC liegen, wie man leicht an y_H/x_H=1/m sieht, auf einer Ursprungsgerade mit der Steigung 1/m. Diese ist die an einer (beliebigen) der beiden Koordinatenachsen gespiegelte Gerade durch O und P.

Weiterhin hängen sie linear von den x_i ab. Es ist also durch Verschiebung jedes einzelnen der drei Mittelpunkte M_i möglich, den Höhenschnittpunkt in den Ursprung zu bringen, so daß also H der Koordinatenursprung ist.
Beispiel: x₁=-((b³+b²mx₂+b²mx₃+bm²x₂x₃)/(m(b²+bmx₂+bmx₃+x₂x₃+m²x₂x₃))) oder einfacher x₁=y₂y₃(x₂y₃-x₃y₂)/((y₃-y₂)(x₂x₃+y₂y₃)) bewirkt für gegebene x₂ und x₃, daß H im Ursprung liegt. anwenden..

Damit entspricht die Konstruktion derjenigen des Satzes von Droz-Farny, der hier sozusagen von hinten aufgezäumt wird. Da aber jedes Dreieck so verschoben werden kann, daß sein Höhenschnittpunkt im Ursprung liegt, und dazu eine passende Lage von P gefunden werden kann, nämlich als Schnittpunkt der drei Kreise um die Mittelpunkte der beiden Achsenschnitte jeder Kantengerade durch den Ursprung. (Daß der existiert, ist oben allgemein gezeigt.) Somit ist der Beweis valide. Zum Ausprobieren in der kleinen Graphik ein beliebiges Dreieck formen!